后台天天有人问背包问题，这个问题其实不难，借助动态规划的思维框架，无非还是状态 + 选择，没啥特别之处。今天就来说一下背包问题吧，就讨论最常见的 0-1 背包问题。描述：
给你一个可装载重量为 的背包和 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 个物品的重量为 ，价值为 。现在让你用这个背包装物品，每个物品只能用一次，在不超过被包容量的前提下，最多能装的价值是多少？
举个简单的例子，输入如下：
算法返回 6，选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于 ，可以获得最大价值 6。
题目就是这么简单，一个典型的动态规划问题。这个题目中的物品不可以分割，要么装进包里，要么不装，不能说切成两块装一半。这就是 0-1 背包这个名词的来历。
解决这个问题没有什么排序之类巧妙的方法，只能穷举所有可能，根据我们 中的套路，直接走流程就行了。
看来每篇动态规划文章都得重复一遍套路，历史文章中的动态规划问题都是按照下面的套路来的。
第一步要明确两点，「状态」和「选择」。
先说状态，如何才能描述一个问题局面？只要给几个物品和一个背包的容量限制，就形成了一个背包问题呀。所以状态有两个，就是「背包的容量」和「可选择的物品」。
再说选择，也很容易想到啊，对于每件物品，你能选择什么？选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛。
明白了状态和选择，动态规划问题基本上就解决了，对于自底向上的思考方式，代码的一般框架是这样：
第二步要明确 数组的定义。
首先看看刚才找到的「状态」，有两个，也就是说我们需要一个二维 数组。
的定义如下：对于前 个物品，当前背包的容量为 ，这种情况下可以装的最大价值是 。
比如说，如果 ，其含义为：对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6。
根据这个定义，我们想求的最终答案就是 。base case 就是 ，因为没有物品或者背包没有空间的时候，能装的最大价值就是 0。
细化上面的框架：
第三步，根据「选择」，思考状态转移的逻辑。
简单说就是，上面伪码中「把物品 装进背包」和「不把物品 装进背包」怎么用代码体现出来呢？
这就要结合对 数组的定义，看看这两种选择会对状态产生什么影响：
先重申一下刚才我们的 数组的定义：
表示：对于前 个物品（从 1 开始计数），当前背包的容量为 时，这种情况下可以装下的最大价值是 。
如果你没有把这第 个物品装入背包，那么很显然，最大价值 应该等于 ，继承之前的结果。
如果你把这第 个物品装入了背包，那么 应该等于 。
首先，由于数组索引从 0 开始，而我们定义中的 是从 1 开始计数的，所以 和 表示第 个物品的价值和重量。
你如果选择将第 个物品装进背包，那么第 个物品的价值 肯定就到手了，接下来你就要在剩余容量 的限制下，在前 个物品中挑选，求最大价值，即 。
综上就是两种选择，我们都已经分析完毕，也就是写出来了状态转移方程，可以进一步细化代码：
最后一步，把伪码翻译成代码，处理一些边界情况。
我用 Java 写的代码，把上面的思路完全翻译了一遍，并且处理了 可能小于 0 导致数组索引越界的问题：
至此，背包问题就解决了，相比而言，我觉得这是比较简单的动态规划问题，因为状态转移的推导比较自然，基本上你明确了 数组的定义，就可以理所当然地确定状态转移了。
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