跳表数据结构与算法



跳表(SkipList)：增加了向前指针的链表叫做指针。跳表全称叫做跳跃表，简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构，实质是一种可以进行二分查找的有序链表。

跳表在原有的有序链表上增加了多级索引，通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。

跳表=链表+多级索引结构

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是O(n)。

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的down表示down指针，指向下一级结点。

如果我们现在要查找某个结点，比如16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为13的结点时，我们发现下一个结点是17，那要查找的结点16肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。

这个时候，我们只需要再遍历2个结点，就可以找到值等于16的这个结点了。这样，原来如果要查找16，需要遍历10个结点，现在只需要遍历7个结点。

加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。

跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找16，只需要遍历6个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第

k级索引结点的个数就是n/(2k)。按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是n/(2k)。

假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。通过上面的公式，我们可以得到n/(2h)=2，从而求得h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。那这个m的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说m=3，为什么是3呢？

假设我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于后面的结点z，所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点（包含y和z），所以，我们在K-1级索引中最多只需要遍历3个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。

通过上面的分析，我们得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？我画了一个每三个结点抽一个的示意图，你可以看下。

从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引结点个数都除以3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。

通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)。

跳表插入的时间复杂度为：O(logn)，支持高效的动态插入。

在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找的操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是对于跳表来说，查找的时间复杂度为O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度也是O(logn)，如下图所示：

跳表的删除操作时间复杂度为：O(logn)，支持动态的删除。

在跳表中删除某个结点时，如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。

因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点（双向链表除外）。因此跳表的删除操作时间复杂度即为O(logn)。

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这K级索引中。

先讨论插入，我们先看理想的跳跃表结构，L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2，L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2，以此类推。从这里，我们可以想到，只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2，我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢？很简单，抛硬币就能解决了！假设元素X要插入跳跃表，很显然，L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢？我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2，所以我们有1/2的概率希望X插入L2层，那么抛一下硬币吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相对于L2层，我们还是希望1/2的概率插入，那么继续抛硬币吧！以此类推，元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样，我们能在跳跃表中插入一个元素了。

在此还是以上图为例：跳跃表的初试状态如下图，表中没有一个元素：

如果我们要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下图：

然后我们抛硬币，结果是正面，那么我们要将2插入到L2层，如下图:

继续抛硬币，结果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素33，跟元素2的插入一样，现在L1层插入33，如下图：

然后抛硬币，结果是反面，那么元素33的插入操作就结束了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下图：

然后抛硬币，结果是正面，那么L2层需要插入55，如下图：

继续抛硬币，结果又是正面，那么L3层需要插入55，如下图：

以此类推，我们插入剩余的元素。当然因为规模小，结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大，学过概率论的同学都知道，最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。

采用随机数生成的方式来获取新元素插入的最高层数。我们先估摸一下n的规模，然后定义跳跃表的最大层数maxLevel，那么底层，也就是第0层，元素是一定要插入的，概率为1；最高层，也就是maxLevel层，元素插入的概率为1/2^maxLevel。

我们先随机生成一个范围为0~2^{maxLevel-1的一个整数r。那么元素r小于2}(maxLevel-1)的概率为1/2，r小于2^{(maxLevel-2)的概率为1/4，……，r小于2的概率为1/2}(maxLevel-1)，r小于1的概率为1/2^maxLevel。

举例，假设maxLevel为4，那么r的范围为0~15，则r小于8的概率为1/2，r小于4的概率为1/4，r小于2的概率为1/8，r小于1的概率为1/16。1/16正好是maxLevel层插入元素的概率，1/8正好是maxLevel层插入的概率，以此类推。

通过这样的分析，我们可以先比较r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel层以下；否则再比较r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1层以下；再比较r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2层以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底层即可。

运行结果：

当然每次运行结果层数都可能会不一样，这也正是翻硬币的作用所在。

4.9E-324是double最小值，也就是我们初始化节点的默认value值。

• 数据结构与算法——跳表
• 【数据结构与算法】之跳表(Java实现)

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