切割钢条用什么工具_动态规划算法python

动态规划问题

问题描述：对于非线性的应用问题，往往只能采用“走一步看一步”的方法解决，即动态规划。解决思路是每一步都选择其中的最优解，即贪心算法。
与分治法类似，通过组合字问题的解来求解全问题。

以钢条切割问题和求解最长公共子序列问题为例。

钢条切割问题

广州市的一家钢条回收厂推出了不同长度的钢条对应不同价格的回收策略，如果小鱼现在有n米长的钢条，应该怎么切割使得销售后收益Rn最大？

方法一 暴力解决

首先，用暴力方法直接解决，需要考虑n长度的钢条切割问题，再考虑对应切割后的钢条的价格，
对于n长度的钢条，- - - - - - -…-，每个空隙都可以选择切和不切，一共n-1个空隙，所以最后有 2^n-1 种切割方法。
然后再考虑每种切割方法的价格，最后进行比较。
别的不说，光是第一步时间复杂度就已经达到O(2^n)了。

方法二 动态规划

此时，如果n=1，则不用切割，收益
R1 = 1，
n=2，可以选择切割成1 1，收益R = 1+1=2；也可以不切割 R=5，相比较不切割更优，R2=5。
n=3，切割成1 1 1，R=1+1+1=3；
或者切割成1 2，用上行中的R1 + R2 = 1+5=6，而不用再去讨论2是否要切割的问题，因为对于这种情况1 2两段，我们已经知道R2是怎么切割的了，所以这样就是最优的（已证）；
或者不切割 3，R=8 。
综上考虑
R3 = 8 是最优的。
n=4，切割方案有0+4，1+3，2+2，对应的收益分别是max（0+9，1+8，5+5（最优）），所以R4 =10=R2 +R2
n=5，有0+5，1+4，2+3，收益为max（0+10，1+10，5+8），所以R5=13
n=6，R6 = max（0+17，1+13，5+10，8+8）=17，所以R6=17
n=7，R7=max（0+17，1+17，5+13，8+10），R7=18
R8=22
R9=25
R10=30
···
总结：要想知道n长度钢条怎么切割最大，需要知道n-1钢条怎么切割最大，再去比较是1+（n-1）两段收益高还是不切割n直接卖收益高，依次比较max（n(如果n<10可以不切)，1+（n-1），2+（n-2），3+（n-3）…），然后后续要知道n-1最大收益，需要知道n-2怎么切割收益高，要知道···最后递归到n=1的时候的收益。

#自顶向下递归实现 def CUT_ROD(p,n): if n==0: return 0; q = -1000 for i in range(1,n): q = max(q,p[i]+CUT_ROD(p,n-i)) return q 

完整代码

# #钢条切割问题：自顶向下（由大到小） # #获得最大值函数 def max(a,b): temp = a; if temp < b: temp = b; return temp # 备忘机制的CUT-ROD def MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p, n, r): # 实际上参数是输入的数字+1 n = n - 1 # 此时的n是输入的数 if r[n] >= 0: return r[n] if n<=10: if n == 0: q = 0 else: q = -9999 for i in range(1, n): q = max(q, int(p[i]) + int(MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p, n - i, r))) else: # 对于n>10的情况，同样要进行拆分成两个子问题再比较最大值，比如n=12应该还是得考虑max（1+11，2+10，3+9...） q = -9999 for i in range(0, n): q = max(q, int(r[i+1]) + int(MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p, n - i, r))) r[n] = q print("n=",n) print("r=",r) return q def MEMOIZED_CUT_ROD(p,n): r = { 
   } for i in range(0,n): r[i] = -9999 r[1] = p[0] return MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p,n,r) if __name__ == '__main__': p = [1,5,8,9,10,17,17,20,24,30] #长度 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 #价格 pi 0 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30 print("输入钢条长度n：") n = int(input()) if n == 1: print("最大的收益：",p[0]) print("最大的收益：",MEMOIZED_CUT_ROD(p,n+1)) 

代码输出情况