第22章 随机波动率模型：均值回归假设及存在相关性时的微笑曲线

这学期会时不时更新一下伊曼纽尔·德曼（Emanuel Derman） 教授与迈克尔B.米勒（Michael B. Miller）的《The Volatility Smile》这本书，本意是协助导师课程需要，发在这里有意的朋友们可以学习一下，思路不一定够清晰且由于分工原因我是从书本第13章写起，还请大家见谅。

第22章 随机波动率模型：均值回归假设及存在相关性时的微笑曲线

无相关性且波动率服从均值回归

上一章分析了无相关性下的两种随机波动率模型。在两状态模型中，波动率是常数，不随时间的变动而变动。在几何布朗运动模型中，波动率是变动的，且变动范围没有边界限制。在本节中，我们来看一看更为实际一点的中间状态，假设波动率服从均值回归

最简单的波动率均值回归模型如下：
$$d\sigma =\alpha (m-\sigma )dt+\beta \sigma dW$$
均值回归的半衰期与 $1/\alpha$ 成比例关系，$\beta$ 表示波动率的波动率，$m$ 表示长期波动率。在21章我们推导了无相关系数下的隐含波动率近似表达式：
$$\Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}+\frac{1}{2}var[\bar{\sigma }]\frac{1}{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}[(\frac{1}{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }(\ln (\frac{S}{K}){)}^2-\frac{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }{4}]$$

可以根据这个等式，结合对于均值回归波动率的一些直观认识，来理解在很短的期限或者很长的期限里，随机波动率模型中微笑曲线的行为特征是怎样的

波动率与路径波动率

在标准布朗运动中，扩散过程会导致方差或者可能出现的结果范围随时间不断扩大，且没有边界。沿任意路径上的平均值范围也没有边界，只是速度没那么快。在我们的标准二叉树模型中，如果用+1表示上行变动，用-1表示下行变动，从0开始，两个阶段之后，一共有4种可能的路径，终点值分别为+2，0，0以及-2。这4条路径的平均值，则分别为+1，+1/3，-1/3以及-1。路径平均值的方差远远小于终点值的方差，在这个案例中，前者大概只有后者的一半。在均值回归假设条件下，各种可能结果的方差范围就更小了。因此，如果我们的模拟时间足够长，那么任意路径的平均值的极限最终都是趋同的。于是，存在均值回归时，路径均值的方差就等于0。变量的方差与路径的方差存在的这点差异，在理解均值回归对于随机波动率的影响上，就非常重要

期限较短的情况

在极限条件 $\tau \to 0$ 时：
$$\begin{gathered} \Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}+\frac{1}{2}var[\bar{\sigma }]\frac{1}{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}[(\frac{1}{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }(\ln (\frac{S}{K}){)}^2-\frac{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }{4}] \\ \tau \to 0:\underset{\tau \to 0}{\lim }\Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}+\frac{1}{2}var[\bar{\sigma }]\frac{1}{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^3\tau }(\ln (\frac{S}{K}){)}^2 \end{gathered}$$
$\bar{\sigma }$ 表示路径波动率，$\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}$ 表示路径波动率的平均值

若到期日远小于 $1/\alpha$，那么波动率的均值回归趋势影响几乎可以忽略不计，波动率方差随时间成线性增长，于是 $var[\sigma ]\approx \beta \tau$。路径波动率 $\bar{\sigma }$ 跟时间之间存在相似的关系，只是系数为 ${\beta }^{\prime }$，于是 $var[\bar{\sigma }]\approx {\beta }^{\prime }\tau$，将这一关系式代入上式可得：
$$\underset{\tau \to 0}{\lim }\Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}+\frac{1}{2}{\beta }^{\prime }\frac{1}{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^3}(\ln (\frac{S}{K}){)}^2$$
时间 $\tau$ 被消掉了。当 $\tau \to 0$ 时，微笑曲线的曲率是一个有限的二次项表达式

期限较长的情况

在极限条件 $\tau \to \infty$ 时，由于均值回归，波动率的方差 $\sigma$ 不再无限增长，因此当 $\tau \to \infty$ 时：
$$\begin{gathered} \Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}+\frac{1}{2}var[\bar{\sigma }]\frac{1}{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}[(\frac{1}{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }(\ln (\frac{S}{K}){)}^2-\frac{{\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}}^2\tau }{4}] \\ \tau \to \infty :\underset{\tau \to \infty }{\lim }\Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}-\frac{1}{8}var[\bar{\sigma }]\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}\tau \end{gathered}$$
通常当标的资产波动率服从随机流程时，在期权有效期内，路径波动率的平均值 $\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}$ 及其方差 $var[\bar{\sigma }]$ 会随着时间的变化而变化。但是，如我们此前提到的，如果此处瞬时波动率服从均值回归，那么从长期来看，当 $\tau \to \infty$ 时，所有路径上的路径波动率都是相同的，路径波动率的方差 $var[\bar{\sigma }]$ 将会渐进收敛至0。我们可以证明，$var[\bar{\sigma }]$ 收敛至0的系数与 $1/\tau$ 成正比，也就是说，$var[\bar{\sigma }]$=常数$/\tau$。当 $\tau \to \infty$ 时，我们可以得到：
$$\underset{\tau \to \infty }{\lim }\Sigma \approx \overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}-\frac{const}{8}\overline{\stackrel{ˉ}{\sigma }}$$
在到期日较长的情况下，均值回归且无相关性下的随机波动率模型也就变成了一个隐含波动率函数，这个函数跟货币性无关。方差的变动是渐进的，也就不存在微笑曲线

无相关性均值回归模型下的微笑曲线

根据此前的结论，在没有相关性的情况下，我们预期的随机波动率微笑曲线如上图所示。可以从定性的角度来理解：从短期来看，如果波动率突然大幅异动，看起来就像是个跳跃，不管是向上还是向下，都会导致肥尾，进而导致行权价较高或者较低的期权对应的隐含波动率上升；但是从长期来看，因为存在均值回归，所有路径上的路径波动率都是相等的，因此长期斜度也就变得平坦化

相比普通的几何布朗运动，均值回归假设更接近于现实中的波动率变化情况，且能够解释我们在真实市场中观察到的微笑曲线曲率递减现象

下图展示了期权价格及其对应的布莱克-斯科尔斯-默顿(BSM)隐含波动率的蒙特卡罗模拟结果。在蒙特卡罗模拟设定中，假设波动率的变动服从：
$$d\sigma =\alpha (m-\sigma )dt+\beta \sigma dW$$
并且股票价格及其波动率之间没有相关性。在所有情况中，都假设初始波动率为20%，距到期日时间为0.25年，并且长期波动率 $m$ 等于20%，唯一的差别在于不同情况下的均值回归强度 $\alpha$ 值不同，范围是0~100

可以看到，随着均值回归强度 $\alpha$ 值越大，微笑曲线就越平坦。当 $\alpha$ 值较大的时候，波动率回归到其长期均值也就更快，波动率远远高于或低于其均值的可能性就更低，因此微笑曲线也就更平坦

存在相关性时的随机波动率模型

我们已经证明，当股票价格与其波动率之间没有相关性的时候，随机波动率模型下的微笑曲线是对称的

当股票价格和波动率之间的相关系数不等于0时，微笑曲线中仍然有一个变量跟 $[\ln (K/S){]}^2$ 成比例关系，这个变量本身会导致微笑曲线成凹性且对称。但相关系数不等于0还是会导致微笑曲线的变量与 $\ln (K/S)$ 成线性关系，导致微笑曲线不对称。如果相关系数为负数，在股票价格下降的时候，波动率更有可能会上升，于是微笑曲线表现出负斜度；而相关系数为正数时，结论则相反

下图展示了相关系数这一变量对微笑曲线的影响，图中用的特殊假设条件是不存在均值回归。当存在均值回归时，微笑曲线的形状看上去差不多，但是波动率的变动范围就缩小了。因此，要用随机波动率模型构建我们所在股票指数市场上观察到的负斜度微笑曲线，就需要股票价格和波动率之间的相关性系数为负数

布莱克-斯科尔斯-默顿模型、局部波动率模型以及随机波动率模型中的对冲比率的对比

到目前为止，我们已经研究了两种可以解释微笑曲线的模型：局部波动率模型和随机波动率模型。如果我们对比这两类模型，比如说解释观察到的负斜度指数波动率微笑曲线，每种模型都会对应不同的波动率变动方式以及不同的预期斜度。此外，尽管两类模型得到的初始期权价格都相等，但是每种模型得到的对冲比率是不同的

1. BSM模型：无法解释斜度，隐含波动率跟股票价格之间没有相关性。正确的对冲比率就是BSM的delta值
2. 局部波动率模型：当斜度为负时，局部波动率会随着市场的上升而下降。因此，正确的对冲比率会小于BSM的delta值
3. 随机波动率模型：在基于BSM模型扩展得到的随机波动率模型中，隐含波动率是一个由 $K/S$ 和瞬时波动率本身两个变量决定的函数。当斜度为负而 $S$ 保持不变时，隐含波动率随着 $K$ 的下降而上升。因此，对冲比率会小于BSM的对冲比率，这跟局部波动率模型得到的结论相反

对于同一条微笑曲线，局部波动率模型和随机波动率模型得到的对冲比率不同，这看起来有些奇怪。尽管在随机波动率模型中，波动率是随机变量，但是在这个模型中有两个对冲比率，一个是对股票进行对冲，一个是对波动率进行对冲。只要瞬时波动率发生变化，即使股票价格不变，期权价格和股票的对冲比率也会发生变化。在下一节中，我们将尝试证明，如果只考虑对股票价格的变动进行最优对冲，而不对波动率进行对冲，那么这两类模型的结果可以统一在一起

根据随机波动率模型只对股票进行最优对冲

在局部波动率模型中，通过持有 $\Delta$ 份股票对期权进行对冲。在随机波动率模型中，可以分别计算期权对于股票价格和波动率的敞口，并同时对这两个变量进行对冲

但是对一个期权的波动率敞口进行对冲难度很大，而且成本很高，因为这需要引入第2个期权才能对冲掉第1个期权的敞口，而相比股票而言，期权的流动性通常较差，且交易成本也更高。如果我们无法对波动率进行对冲，那么对股票进行对冲的最优比率是多少呢？在前几章中，我们提到“最优”对冲比率指的是使损益的波动率最小的策略。我们将尝试证明，当斜度为负时，在随机波动率模型中，只对股票进行对冲的最优比率将小于BSM的对冲比率，从定性的角度来看，这跟局部波动率的结论是一致的

考虑一个简化的随机隐含波动率模型，如下：
$$\begin{gathered} \frac{dS}{S}=\mu dt+\Sigma dZ \\ d\Sigma =pdt+qdW \\ dZdW=\rho dt \end{gathered}$$
为简化分析，我们假设股票实际波动率等于相应期权的隐含波动率

只对股票进行对冲的组合包括买入看涨期权，同时卖出 $\Delta$ 份股票：
$$\pi =C_{BSM}-\Delta S$$
其中 $C_{BSM}=C_{BSM}(S,t,K,T,r,\Sigma )$ 是指看涨期权的市场价格。在下一个瞬间，由于 $S,\Sigma$ 的变动对这个组合价值的影响是：
$$d\pi =(\frac{\partial C_{BSM}}{\partial S}-\Delta )dS+\frac{\partial C_{BSM}}{\partial \Sigma }d\Sigma =({\Delta }_{BSM}-\Delta )dS+V_{BSM}d\Sigma$$
其中隐含波动率 $\Sigma$ 保证了BSM期权价格等于市场价格。我们并未对波动率的变动进行对冲，只是对股票价格的变动进行对冲

这个组合的瞬时方差就是 $var[\pi ]dt=(d\pi {)}^2$，其中：
$$var[\pi ]=({\Delta }_{BSM}-\Delta {)}^2(\Sigma S{)}^2+V_{BSM}^2{q}^2+2({\Delta }_{BSM}-\Delta )V_{BSM}\Sigma Sq\rho$$
要使组合损益方差最小，对应的 $\Delta$ 值满足如下条件：
$$\begin{gathered} \frac{\partial var[\pi ]}{\partial \Delta }=-2({\Delta }_{BSM}-\Delta )(\Sigma S{)}^2-2V_{BSM}\Sigma Sq\rho =0 \\ \to \Delta ={\Delta }_{BSM}+\rho \frac{V_{BSM}q}{\Sigma S} \end{gathered}$$
上式说明，将BSM模型扩展至随机波动率后，最优对冲比率就取决于股票价格及其波动率之间的相关性系数。因为 $q,V_{BSM}$ 都是正数，当 $\rho$ 为负数时，斜度为负且最优对冲比率小于 ${\Delta }_{BSM}$，这跟局部波动率模型的结论一致。当 $\rho$ 为正数时，反之也成立。最后，当 $\rho$ 等于0时，微笑曲线是对称的，最优对冲比率就是BSM对冲比率