求解最长上升子序列的三种方法
动态规划O(N^2)
这种算法主要是依靠前面已经得出的最长递增子序列，来推出当前的最长递增子序列。
例：当前遍历到m时，值为n
(1)dp[ m ]=1，n为当前最大值
(2)dp[ m ]=max(dp[ m ],dp[ 1~ m]+1),n要大于当前的数才能进行比较，+1表示把m点也算入序列中
代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int t[N];
int dp[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&t[i]);
int ant=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
if(t[j]<t[i])
{
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
ant=max(ant,dp[i]);
}
}
printf("%d\n",ant);
return 0;
}输出序列：可以设置一个数组来记录第 i 个数的递增子序列由哪个数得到，类似于并查集
DP+二分NlogN
DP+二分 分为两种情况，当遍历到第i个数m时，m比维护的递增序列数组最后一个数还要大时，将m增加到数组末尾中，数组长度+1。否则，在数组中二分查找刚好大于m的数，并替换。
例：假设存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0X3f3f3f3f;
int tmp[N];
int n;
int er_left(int r,int x)
{
int l=1,mid;
while(l<r)
{
mid=l+r>>1;
if(tmp[mid]>=x)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
return r;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int ans=0;
int c;
tmp[0]=-inf;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&c);
if(c>tmp[ans])
tmp[++ans]=c;
else
tmp[er_left(ans,c)]=c;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}输出序列：可以设置两个数组，pos[ ],pre[ ]。pos用来记录tmp位置上是第几个数，pre用来记录每个数的前一个数
代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0X3f3f3f3f;
int a[N];
int tmp[N];
int pos[N];
int pre[N];
int n;
int er_left(int r,int x)
{
int l=1,mid;
while(l<r)
{
mid=l+r>>1;
if(tmp[mid]>=x)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
return r;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int ans=0;
int c;
tmp[0]=-inf;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&c);
a[i]=c;
if(c>tmp[ans])
{
tmp[++ans]=c;
pos[ans]=i;
pre[i]=pos[ans-1];
}
else
{
int t=er_left(ans,c);
tmp[t]=c;
pos[t]=i;
pre[i]=pos[t-1];
}
}
printf("%d\n",ans);
while(pos[ans]>=1)
{
printf("%d ",a[pos[ans]]);
pos[ans]=pre[pos[ans]];
}
return 0;
}手动模拟一下，比较容易理解
LCS:最后一种方法是用LCS来求，先将序列排序，求序列与排序后序列的最长公共子序列即可。
LCS模板
