RSA 公钥 私钥

技术博客 (146) 2023-10-06 09:01:01

https://www.zhihu.com/question/25912483

https://blog.csdn.net/dbs1215/article/details/48953589

1. 什么是RSA

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法,也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前,先熟悉下几个术语 
根据密钥的使用方法,可以将密码分为对称密码和公钥密码 
对称密码:加密和解密使用同一种密钥的方式 
公钥密码:加密和解密使用不同的密码的方式,因此公钥密码通常也称为非对称密码。

2. RSA加密

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

EmodN密文=明文EmodN

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单?对,就是这么简单。 
从通式可知,只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了,所以说E、N是RSA加密的密钥,也就是说E和N的组合就是公钥,我们用(E,N)来表示公钥

(E,N)公钥=(E,N)

不过E和N不并不是随便什么数都可以的,它们都是经过严格的数学计算得出的,关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密(Encryption)的首字母,N是数字(Number)的首字母

3. RSA解密

RSA的解密同样可以使用一个通式来表达

DmodN明文=密文DmodN

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文,这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了,所以D和N的组合就是私钥

(D,N)私钥=(D,N)

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的,加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N” 
此处D是解密(Decryption)的首字母;N是数字(Number)的首字母。

小结下

   
公钥 (E,N)
私钥 (D,N)
密钥对 (E,D,N)
加密
EmodN密文=明文EmodN
解密
DmodN明文=密文DmodN

4. 生成密钥对

既然公钥是(E,N),私钥是(D,N)所以密钥对即为(E,D,N)但密钥对是怎样生成的?步骤如下:

  1. 求N
  2. 求L(L为中间过程的中间数)
  3. 求E
  4. 求D

4.1 求N

准备两个质数p,q。这两个数不能太小,太小则会容易激活成功教程,将p乘以q就是N

N=pqN=p∗q

4.2 求L

L 是 p-1 和 q-1的最小公倍数,可用如下表达式表示

L=lcmp1q1L=lcm(p-1,q-1)

4.3 求E

E必须满足两个条件:E是一个比1大比L小的数,E和L的最大公约数为1 
用gcd(X,Y)来表示X,Y的最大公约数则E条件如下:

1 < E < L

gcd(E,L)=1

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

4.4 求D

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系:

1 < D < L

E*D mod L = 1

只要D满足上述2个条件,则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。 
简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。 
现在私钥自然也已经生成了,密钥对也就自然生成了。 
小结下:

   
求N N= p * q ;p,q为质数
求L L=lcm(p-1,q-1) ;L为p-1、q-1的最小公倍数
求E 1 < E < L,gcd(E,L)=1;E,L最大公约数为1(E和L互质)
求D 1 < D < L,E*D mod L = 1

5 实践下吧

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成,及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

5.1 求N

我们准备两个很小对质数, 
p = 17 
q = 19 
N = p * q = 323

5.2 求L

L = lcm(p-1, q-1)= lcm(16,18) = 144 
144为16和18对最小公倍数

5.3 求E

求E必须要满足2个条件:1 < E < L ,gcd(E,L)=1 
即1 < E < 144,gcd(E,144) = 1 
E和144互为质数,5显然满足上述2个条件 
故E = 5

此时公钥=(E,N)= (5,323)

5.4 求D

求D也必须满足2个条件:1 < D < L,E*D mod L = 1 
即1 < D < 144,5 * D mod 144 = 1 
显然当D= 29 时满足上述两个条件 
1 < 29 < 144 
5*29 mod 144 = 145 mod 144 = 1 
此时私钥=(D,N)=(29,323)

5.5 加密

准备的明文必须时小于N的数,因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N 
假设明文 = 123 
则 EmodN1235mod323=225密文=明文EmodN=1235mod323=225

5.6 解密

DmodN22529mod323=123明文=密文DmodN=22529mod323=123 
解密后的明文为123。

THE END

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