求四边形最大内接矩形_最大张角问题解题再探究，借助模型攻克中考难题犹如神助...

在《100个著名初等数学问题——历史和解》([德]H.德里著)这本书中有个著名的雷奇奥莫塔努斯的极大值问题(Regiomontanus' Maximum Problem)：

在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？(即在什么部位，可视角为最大？)

这个问题是德国数学家J.米勒于1471年向教授C.诺德尔提出的，这是载入古代数学史的第一个极值问题。

米勒问题解释

米勒(Johannes Miller)，德国数学家，曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学，1468年至1471年在维也纳大学任教授。1471年定居纽伦堡，从事天文学研究.米勒对三角学作出了贡献。大约在1461年至1464年间，他写成《论三角》一书，书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表，相当精确。他的这些工作使三角学脱离天文学而成为一门独立的学科。另外，米勒在研究几何时采用了代数方法，这在当时是别具一格的。

1471年，米勒向诺德尔(Christian Rodr)教授提出以下十分有趣的问题：

在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？(即在什么部位，可见角为最大？

米勒的家乡哥尼斯堡把这个问题称为雷奇奥莫塔努斯(Reqiomontanus)极大值问题.该问题本身并不难。然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目.

米勒问题通常也被称为最大视角问题.它最初源于德国数学家J.米勒对于欣赏美术作品有关的数学问题的思考.

先给出一般化的"米勒问题"：

已知点AB为定值，点P是直线OM上的动点，则当P在何处时，∠APB最大？

模型展示

题设条件：A、B是∠MON边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点。求:∠APB的最大值

直观感知：两定一动，最大张角问题

当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

结论证明

证明：如图，P′是边OM上不同于点P的任意一点，

连接P′A，P′B，P′A与圆交于点C，连接CB，

根据三角形外角的性质，可知∠ACB>∠AP′B，

根据圆周角定理可知，∠APB=∠ACB，∴∠APB>∠AP′B

∴ 当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

最大张角尺规作图

米勒问题除了欣赏壁画外存在形式，生活中还有其他的表现形式，比如：在某场足球比赛中，已知足球场宽为90m，球门宽为7.32m，一名队员沿边路带球突破时，距底线多远处射球，所对球门的张角最大？电影院里，坐在哪个位置看电影的视角最大？不仅如此，在水利工程测量和水文测验的实际工作中，米勒问题对提高测量精度具有重大的指导作用。

米勒问题在中考题中频频亮相，常常以平面几何和实际应用为背景进行考查。以下一些题目大家可以练练笔，从中感悟一下米勒问题的魅力。

经典应用及考题

1.如图，在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB，学生座位区域CEFD距黑板最近1米，在教室左侧边