求四边形最大内接矩形_最大张角问题解题再探究,借助模型攻克中考难题犹如神助...

(119) 2024-03-31 11:01:01

在《100个著名初等数学问题——历史和解》([德]H.德里著)这本书中有个著名的雷奇奥莫塔努斯的极大值问题(Regiomontanus' Maximum Problem):

在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可视角为最大?)

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这个问题是德国数学家J.米勒于1471年向教授C.诺德尔提出的,这是载入古代数学史的第一个极值问题。

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米勒问题解释

米勒(Johannes Miller),德国数学家,曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学,1468年至1471年在维也纳大学任教授。1471年定居纽伦堡,从事天文学研究.米勒对三角学作出了贡献。大约在1461年至1464年间,他写成《论三角》一书,书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表,相当精确。他的这些工作使三角学脱离天文学而成为一门独立的学科。另外,米勒在研究几何时采用了代数方法,这在当时是别具一格的。

1471年,米勒向诺德尔(Christian Rodr)教授提出以下十分有趣的问题:

在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可见角为最大?

米勒的家乡哥尼斯堡把这个问题称为雷奇奥莫塔努斯(Reqiomontanus)极大值问题.该问题本身并不难。然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目.

米勒问题通常也被称为最大视角问题.它最初源于德国数学家J.米勒对于欣赏美术作品有关的数学问题的思考.

先给出一般化的"米勒问题":

已知点AB为定值,点P是直线OM上的动点,则当P在何处时,∠APB最大?

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模型展示

题设条件:A、B是∠MON边ON上的两个定点,点P是边OM上的一个动点。求:∠APB的最大值

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直观感知:两定一动,最大张角问题

当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大。

结论证明

证明:如图,P′是边OM上不同于点P的任意一点,

连接P′A,P′B,P′A与圆交于点C,连接CB,

根据三角形外角的性质,可知∠ACB>∠AP′B,

根据圆周角定理可知,∠APB=∠ACB,∴∠APB>∠AP′B

∴ 当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大。

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最大张角尺规作图

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米勒问题除了欣赏壁画外存在形式,生活中还有其他的表现形式,比如:在某场足球比赛中,已知足球场宽为90m,球门宽为7.32m,一名队员沿边路带球突破时,距底线多远处射球,所对球门的张角最大?电影院里,坐在哪个位置看电影的视角最大?不仅如此,在水利工程测量和水文测验的实际工作中,米勒问题对提高测量精度具有重大的指导作用。

米勒问题在中考题中频频亮相,常常以平面几何和实际应用为背景进行考查。以下一些题目大家可以练练笔,从中感悟一下米勒问题的魅力。

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经典应用及考题

1.如图,在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB,学生座位区域CEFD距黑板最近1米,在教室左侧边

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