具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意)

(48) 2024-05-27 19:01:01

(简单回顾)顶和底的概念,极值不等式

顶就是ceiling向上取整,底就是floor向下取整

这两个式子成立的区间有且仅有一个整数(x和x-1相差1,x和x+1也相差1)

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ceiling和floor是关于x轴和y轴对称的(先x轴再y轴或先y轴后x轴) 而不是关于y=x对称

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例:在后面不等式增多的情况下忘记了可以进行画图现场推导

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顶和底的应用1——⌊f(x)⌋= ⌊f(⌊x⌋)⌋

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3.7式记忆的方法就是,因为下取整肯定左边要跨等号,那么右边就没有;向上取整也这么记就ok(拿到上取整和下取整不影响两边整数)

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顶和底的应用2——求任意两个数区间内整数的个数

对于区间端点都是整数的情况:左开右闭,左闭右开,都开,都闭

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对于区间端点是任意实数α和β的情况:将其转化为区间端点都是整数

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其推导就按照3.7式进行,x作为任意实数大于等于一个整数那就用下取整,小于等于一个整数那就上取整,看符号情况选择3.7公式的式子

第四种情况:[α,β]左右都闭的情况也同样,动手复习一下(要注意个数是两个整数相减再加1)

例子:求1到1000之间,开立方根之后能被n整除的数个数

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注意进行分段处理,设定k从1取到9,最后一行单独处理,能整除k的数转换为了【k平方,k+1)^3除以k)这个区间的长度

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顶和底的应用3——实数的谱(spectrum)

由整数组成一个无限重集,α下取整,2α下取整.......

且有性质,两数不同则其谱不同

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根2和2+根2的谱对正整数进行了划分(集合A的划分就是划分该集合的每一个子集相交都为空集,但是并起来是这个集合A)

对此证明的过程就是,证明对任意的整数n,根2谱系里小于等于n的数和2+根2谱系里小于等于n的数个数相加为n

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 3.7公式里面下取整右边是小于号,而这里是小于等于,于是我们将≤n转化为<n+1去用公式,对于k下限的设置,因为α是任意的所以可能(n+1)/α是小于1的,因此k虽然取1,2,............,k≥1,等价于k>0

因为根2和2+根2是无理数,所有肯定有小数部分,于是可以拆分为整数部分+小数部分,并且上取整减去1为下取整

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由于 (n+1)/根2和(n+1)/根2+2 相加是个整数,而整数部分加起来肯定是个整数,所以小数部分相加应该肯定也是整数,而两个小数部分相加范围为大于等于0到小于2,所以这两个小数部分加起来应该是1,证毕。

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