(简单回顾)顶和底的概念,极值不等式
顶就是ceiling向上取整,底就是floor向下取整
这两个式子成立的区间有且仅有一个整数(x和x-1相差1,x和x+1也相差1)
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第1张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第1张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/487192ca44654166906aede0d9a093a8.png)
ceiling和floor是关于x轴和y轴对称的(先x轴再y轴或先y轴后x轴) 而不是关于y=x对称
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第2张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第2张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/920762789d2d4b50b3cc3663b09d9f7a.png)
例:在后面不等式增多的情况下忘记了可以进行画图现场推导
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第3张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第3张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/852504ac9d364abe9b33d87494662b8c.png)
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第4张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第4张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/6e3fa0c531b84de7a3d62b1cddeecc6d.png)
顶和底的应用1——⌊f(x)⌋= ⌊f(⌊x⌋)⌋
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第5张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第5张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/b1f758d28c9d4e5baf0cce40b61c0ad1.png)
3.7式记忆的方法就是,因为下取整肯定左边要跨等号,那么右边就没有;向上取整也这么记就ok(拿到上取整和下取整不影响两边整数)
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第6张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第6张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/0ba4fb5d8bdd4abe82e111e03962ddb1.png)
顶和底的应用2——求任意两个数区间内整数的个数
对于区间端点都是整数的情况:左开右闭,左闭右开,都开,都闭
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第7张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第7张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/9309e9d22b4b4b23a967477f328e92d0.png)
对于区间端点是任意实数α和β的情况:将其转化为区间端点都是整数
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第8张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第8张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/65dfd8f7c7aa461aa883dc319e66d216.png)
其推导就按照3.7式进行,x作为任意实数大于等于一个整数那就用下取整,小于等于一个整数那就上取整,看符号情况选择3.7公式的式子
第四种情况:[α,β]左右都闭的情况也同样,动手复习一下(要注意个数是两个整数相减再加1)
例子:求1到1000之间,开立方根之后能被n整除的数个数
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第9张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第9张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/36c5b124b3d2478cb21582228ef2a582.png)
注意进行分段处理,设定k从1取到9,最后一行单独处理,能整除k的数转换为了【k平方,k+1)^3除以k)这个区间的长度
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第10张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第10张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/5b5312c45bd245d59835df0a71274a75.png)
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第11张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第11张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/f27fdc65a9d547a4aefd5ddc36de00d5.png)
顶和底的应用3——实数的谱(spectrum)
由整数组成一个无限重集,α下取整,2α下取整.......
且有性质,两数不同则其谱不同
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第12张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第12张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/4272cde61f90431595e7da6ac5196fe9.png)
根2和2+根2的谱对正整数进行了划分(集合A的划分就是划分该集合的每一个子集相交都为空集,但是并起来是这个集合A)
对此证明的过程就是,证明对任意的整数n,根2谱系里小于等于n的数和2+根2谱系里小于等于n的数个数相加为n
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第13张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第13张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/89ac8932e2a747e8a6c49003bd48ed68.png)
3.7公式里面下取整右边是小于号,而这里是小于等于,于是我们将≤n转化为<n+1去用公式,对于k下限的设置,因为α是任意的所以可能(n+1)/α是小于1的,因此k虽然取1,2,............,k≥1,等价于k>0
因为根2和2+根2是无理数,所有肯定有小数部分,于是可以拆分为整数部分+小数部分,并且上取整减去1为下取整
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第14张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第14张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/3fe4aec006924f81a7bb87bd7d4eabc1.png)
由于 (n+1)/根2和(n+1)/根2+2 相加是个整数,而整数部分加起来肯定是个整数,所以小数部分相加应该肯定也是整数,而两个小数部分相加范围为大于等于0到小于2,所以这两个小数部分加起来应该是1,证毕。
![具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) 第15张-穆世明博客 具体数学复习篇——第三章整值函数01取整(平常作业题中有谱的分割证明,复习仍然还需注意) (https://mushiming.com/) 第15张](https://img.mushiming.top/app/mushiming_com/20e24c0b113c43738d98779dbdc0ed7a.png)