线性方程组(五)- 线性方程组的解集

(64) 2024-05-19 20:01:01

小结

  1. 齐次线性方程组的定义。
  2. 解集的参数向量形式。
  3. 非齐次线性方程组的解。

齐次线性方程组

线性方程组称为齐次的,若它可写成 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的形式,其中 A \boldsymbol{A} A m × n m{\times}n m×n矩阵而 0 \boldsymbol{0} 0 R m \mathbb{R}^{m} Rm中的零向量。这样的方程组至少有一个解,即 x = 0 \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} x=0 R n \mathbb{R}^{n} Rn中的零向量),这个解称为它的平凡解。对给定方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0,重要的是它是否有非平凡解,即满足 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的非零向量 x \boldsymbol{x} x

齐次方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量。

确定齐次方程组 { 3 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 = 0 − 3 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 6 x 1 + x 2 − 8 x 3 = 0 \begin{cases} 3x_1 + 5x_2 - 4x_3 = 0 \\ -3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 0 \\ 6x_1 + x_2 - 8x_3 = 0 \\ \end{cases} 3x1+5x24x3=03x12x2+4x3=06x1+x28x3=0是否有平凡解,并描述它的解集。
解:令 A \boldsymbol{A} A为该方程组的系数矩阵,用行化简算法把增广矩阵 [ A 0 ] \begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix} [A0]化为阶梯形
[ 3 5 − 4 0 − 3 − 2 4 0 6 1 − 8 0 ] \begin{bmatrix}3 & 5 & -4 & 0 \\ -3 & -2 & 4 & 0 \\ 6 & 1 & -8 & 0\end{bmatrix} 336521448000 [ 3 5 − 4 0 0 3 0 0 0 9 0 0 ] \begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0\end{bmatrix} 300539400000 [ 3 5 − 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} 300530400000
因为 x 3 x_3 x3是自由变量,故 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0有平凡解(对 x 3 x_3 x3的每一个选择都有一个解)。为描述解集,继续把 [ A 0 ] \begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix} [A0]化为简化阶梯形:
[ 1 0 − 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] { x 1 = f r a c 43 x 3 x 2 = 0 x 3 为 自 由 变 量 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{cases} x_1 = frac{4}{3}x_3 \\ x_2 = 0 \\ x_3为自由变量 \\ \end{cases} 1000103400000x1=frac43x3x2=0x3
A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的通解有向量形式
x = [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 4 3 x 3 0 x 3 ] = x 3 [ 4 3 0 1 ] = x 3 v , 其 中 v = [ 4 3 0 1 ] \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{3}x_3 \\ 0 \\ x_3\end{bmatrix}=x_3\begin{bmatrix}\frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}=x_3\boldsymbol{v},其中\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}\frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} x=x1x2x3=34x30x3=x33401=x3vv=3401
注意,非平凡解向量 x \boldsymbol{x} x可能有些零元素,只要不是所有元素都是0即可。

描述齐次方程组 { 10 x 1 − 3 x 2 − 2 x 3 = 0 \begin{cases} 10x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 \\ \end{cases} {
10x13x22x3=0
的解集。
解:这里无须矩阵记号。用自由变量 x 2 x_2 x2 x 3 x_3 x3表示基本变量 x 1 x_1 x1。通解为:
x = [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0.3 x 2 + 0.2 x 3 0 x 3 ] = [ 0.3 x 2 0 0 ] + [ 0.2 x 3 0 0 ] = x 2 [ 0.3 0 0 ] + x 3 [ 0.2 0 0 ] = x 2 u + x 3 v , 其 中 u = [ 0.3 0 0 ] , v = [ 0.2 0 0 ] \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.3x_2 + 0.2x_3 \\ 0 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.3x_2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0.2x_3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\ \quad=x_2\begin{bmatrix}0.3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}0.2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\ \quad=x_2\boldsymbol{u}+x_3\boldsymbol{v},其中\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}0.3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}0.2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} x=x1x2x3=0.3x2+0.2x30x3=0.3x200+0.2x300=x20.300+x30.200=x2u+x3vu=0.300v=0.200

齐次方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0总可表示为Span{
v 1 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1,,vp},其中 v 1 , ⋯   , v p \boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p} v1,,vp是适当的解向量。若唯一解是零向量,则解集就是Span{
0 \boldsymbol{0} 0};若方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0仅有一个自由变量,则解集是通过原点的一条直线。若有两个或更多个自由变量,则解集是通过原点的平面。

上述方程 { 10 x 1 − 3 x 2 − 2 x 3 = 0 \begin{cases}{ 10x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 }\end{cases} {
10x13x22x3=0
是平面的隐式描述,解此方程就是要找这个平面的显示描述 x = x 2 u + x 3 v \boldsymbol{x}=x_2\boldsymbol{u}+x_3\boldsymbol{v} x=x2u+x3v),就是说将它作为 u \boldsymbol{u} u v \boldsymbol{v} v的子集。
显示描述称为平面的参数向量方程,记为 x = s u + t v ( s , t 为 实 数 ) \boldsymbol{x}=s\boldsymbol{u}+t\boldsymbol{v}\quad(s,t为实数) x=su+tv(s,t)。当解集用向量显示表示,我们称之为解的参数向量形式

非齐次方程组的解

描述 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解,其中 A = [ 3 5 − 4 − 3 − 2 4 6 1 − 8 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & 5 & -4 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & 1 & -8\end{bmatrix} A=336521448 b = [ 7 − 1 − 4 ] \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} 7 & -1 & -4 \end{bmatrix} b=[714]
解:对 [ A b ] \begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{bmatrix} [Ab]作行变换得
[ 3 5 − 4 7 − 3 − 2 4 − 1 6 1 − 8 − 4 ] \begin{bmatrix}3 & 5 & -4 & 7 \\ -3 & -2 & 4 & -1 \\ 6 & 1 & -8 & -4\end{bmatrix} 336521448714 [ 1 0 − 4 3 − 1 0 1 0 2 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{4}{3} & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} 1000103400120
把每个基本变量用自由变量表示: { x 1 − 4 3 = − 1 x 2 = 2 0 = 0 \begin{cases} x_1 - \frac{4}{3} = -1 \\ x_2 = 2 \\ 0 = 0 \\ \end{cases} x134=1x2=20=0
A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的通解可写成向量形式
x = [ x 1 x 2 x 3 ] = [ − 1 + 4 3 x 3 2 x 3 ] = [ − 1 2 0 ] + [ 4 3 x 3 0 x 3 ] = [ − 1 2 0 ] + x 3 [ 4 3 0 1 ] \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1+\frac{4}{3}x_3 \\ 2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{4}{3}x_3 \\ 0 \\ x_3\end{bmatrix}\\ \quad=\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}\frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} x=x1x2x3=1+34x32x3=120+34x30x3=120+x33401
方程 x = p + x 3 v , 其 中 p = [ − 1 2 0 ] , v = [ 4 3 0 1 ] \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p} + x_3\boldsymbol{v},其中\boldsymbol{p}=\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix},\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}\frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} x=p+x3vp=120,v=3401,或用 t t t表示自由变量, x = p + t v \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p} + t\boldsymbol{v} x=p+tv就是用参数变量形式表示的 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解集。

注意:第一个例子齐次方程组 { 3 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 = 0 − 3 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 6 x 1 + x 2 − 8 x 3 = 0 \begin{cases} 3x_1 + 5x_2 - 4x_3 = 0 \\ -3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 0 \\ 6x_1 + x_2 - 8x_3 = 0 \\ \end{cases} 3x1+5x24x3=03x12x2+4x3=06x1+x28x3=0的系数矩阵和上诉例子的系数矩阵是同一矩阵: [ 3 5 − 4 − 3 − 2 4 6 1 − 8 ] \begin{bmatrix}3 & 5 & -4 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & 1 & -8\end{bmatrix} 336521448。两个方程的参数形式的 v \boldsymbol{v} v是相同的。故 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解可由向量 p \boldsymbol{p} p加上 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的解得到,向量 p \boldsymbol{p} p本身也是 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的一个特解。

为了从几何上描述 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解集,我们可以把向量加法解释为平移
L \boldsymbol{L} L是通过 0 \boldsymbol{0} 0 v \boldsymbol{v} v的直线。 L \boldsymbol{L} L的每个点加上 p \boldsymbol{p} p得到 x = p + t v \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p} + t\boldsymbol{v} x=p+tv表示的平移后的直线。注意 p \boldsymbol{p} p也在平移后的直线上。称 x = p + t v \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p} + t\boldsymbol{v} x=p+tv通过 p \boldsymbol{p} p平行于 v \boldsymbol{v} v的直线方程。综上, A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解集是一条通过 p \boldsymbol{p} p而平行于 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的解集的直线

设方程 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b对某个 b \boldsymbol{b} b是相容的, p \boldsymbol{p} p为一个特解,则 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解集是所有形如 w = p + v h \boldsymbol{w}=\boldsymbol{p} + \boldsymbol{v_h} w=p+vh的向量的集,其中 v h \boldsymbol{v_h} vh是齐次方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0的任意一个解。
注意:仅适用于方程 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b至少有一个非零解 p \boldsymbol{p} p的前提下。当 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b无解时,解集是空集。

把(相容方程组的)解集表示称参数向量形式:

  1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形矩阵。
  2. 把每个基本变量用自由变量表示。
  3. 把一般解 x \boldsymbol{x} x表示称向量,如果有自由变量,其元素依赖于自由变量。
  4. x \boldsymbol{x} x分解为向量(元素为常数)的线性组合,用自由变量作为参数。
THE END

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