【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论(24):常数项级数的审敛法(补充知识)

(61) 2024-02-15 18:01:01

目录

  • 前言
  • 往期文章
  • 常数项级数的审敛法
    • 一、正项级数及其审敛法
      • 定义:正项级数
      • 定理1
      • 定理2(比较审敛法)
      • 推论
      • 定理3 (比较审敛法的极限形式)
      • 定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)
      • 定理5(比值审敛法,柯西判别法)
      • 定理6(极限审敛法)
    • 二、交错级数及其审敛法
      • 定义:交错级数
      • 定理7(莱布尼茨定理)
    • 三、绝对收敛与条件收敛
      • 定义
      • 定理8
  • 结语

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前言

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常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义:正项级数

一般的常数项级数,各项可以为正数、负数或零

各项都是正数或零的级数,称为正项级数

定理1

正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛的充分必要条件是:它的部分和数列 s n s_n sn有界

定理2(比较审敛法)

∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn都是正项级数,且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , . . . ) u_n\leq v_n(n=1,2,...) unvn(n=1,2,...)

  • 若级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn收敛,则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛

  • 反之,若 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un发散,则 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn发散

推论

如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn收敛,且存在正整数 N N N,使当 n ≥ N n\geq N nN时,有

u n ≤ k v n ( k > 0 ) u_n \leq k v_n(k > 0) unkvn(k>0)

成立,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n = 1}^{\infty}u_n n=1un收敛

如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn发散,且当 n ≥ N n\geq N nN时,有

u n ≥ k v n ( k > 0 ) u_n \geq k v_n(k > 0) unkvnk>0)

成立,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n = 1}^{\infty}u_n n=1un收敛发散

定理3 (比较审敛法的极限形式)

∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn都是正项级数

(1) 如果 lim ⁡ n → ∞ u n v n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leq l< +\infty) limnvnun=l(0l<+),且级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn收敛,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛

(2)如果 lim ⁡ n → ∞ u n v n = l ( l > 0 ) \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(l > 0) limnvnun=l(l>0) lim ⁡ n → ∞ u n v n = + ∞ \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty limnvnun=+,且级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn发散,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un发散

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定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)

∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un为正项级数,如果

lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho nlimunun+1=ρ

那么

  • ρ < 1 \rho< 1 ρ<1时,级数收敛

  • ρ > 1 \rho>1 ρ>1 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ∞ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty limnunun+1=时级数发散

  • ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时,级数可能收敛,也可能发散

定理5(比值审敛法,柯西判别法)

∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un为正项级数,如果

lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho nlimnun
=
ρ

那么当

  • ρ < 1 \rho < 1 ρ<1时级数收敛
  • ρ > 1 \rho > 1 ρ>1 lim ⁡ n → ∞ u n n = + ∞ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty limnnun
    =
    +
    时级数发散
  • ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时级数可能收敛,可能发散

定理6(极限审敛法)

(1)如果 lim ⁡ n → ∞ n u n = l > 0 \lim_{n\rightarrow\infty} nu_n = l > 0 limnnun=l>0 lim ⁡ n → ∞ n u n = + ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} nu_n =+\infty limnnun=+,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un发散

(2)如果 p > 1 p > 1 p>1,而 lim ⁡ n → ∞ n p u n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) \lim_{n\rightarrow\infty}n^p u_n = l(0 \leq l < +\infty) limnnpun=l(0l<+),那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛

二、交错级数及其审敛法

定义:交错级数

各项都是交错的,例如

u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . . . u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + ..... u1u2+u3u4+.....

− u 1 + u 2 − u 3 + u 4 − . . . . . -u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - ..... u1+u2u3+u4.....

定理7(莱布尼茨定理)

如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n n=1(1)n1un满足条件

(1) u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . . ) u_n \geq u_{n+1}\quad(n = 1, 2, 3,....) unun+1(n=1,2,3,....)
(2) lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}u_n = 0 limnun=0

三、绝对收敛与条件收敛

定义

一般的级数

u 1 + u 2 + . . . . + u n + . . . u_1 + u_2 + .... +u_n +... u1+u2+....+un+...

其各项为任意实数

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un各项的绝对值所构成的正项级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{\infty}|u_n| n=1un收敛

那么称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un绝对收敛

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛,而级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un发散

则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un条件收敛

定理8

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un绝对收敛,那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n n=1un必定收敛

结语

说明:

  • 参考于 课本《高等数学》
  • 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助,如有错误欢迎小伙伴指正

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THE END

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