【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（24）：常数项级数的审敛法（补充知识）
目录
- 前言
- 往期文章
- 常数项级数的审敛法
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- 一、正项级数及其审敛法
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- 定义：正项级数
- 定理1
- 定理2（比较审敛法）
- 推论
- 定理3 （比较审敛法的极限形式）
- 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）
- 定理5（比值审敛法，柯西判别法）
- 定理6（极限审敛法）
- 二、交错级数及其审敛法
-
- 定义：交错级数
- 定理7（莱布尼茨定理）
- 三、绝对收敛与条件收敛
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- 定义
- 定理8
- 结语
前言
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常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
定义：正项级数
一般的常数项级数，各项可以为正数、负数或零
各项都是正数或零的级数，称为正项级数
定理1
正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 s n s_n sn有界
定理2（比较审敛法）
设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn都是正项级数，且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , . . . ) u_n\leq v_n(n=1,2,...) un≤vn(n=1,2,...)
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若级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛
-
反之，若 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un发散，则 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn发散
推论
如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn收敛，且存在正整数 N N N，使当 n ≥ N n\geq N n≥N时，有
u n ≤ k v n ( k > 0 ) u_n \leq k v_n(k > 0) un≤kvn(k>0)
成立，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n = 1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛
如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn发散，且当 n ≥ N n\geq N n≥N时，有
u n ≥ k v n （ k > 0 ) u_n \geq k v_n（k > 0) un≥kvn（k>0)
成立，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n = 1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛发散
定理3 （比较审敛法的极限形式）
设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn都是正项级数
（1） 如果 lim n → ∞ u n v n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leq l< +\infty) limn→∞vnun=l(0≤l<+∞)，且级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn收敛，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛
（2）如果 lim n → ∞ u n v n = l ( l > 0 ) \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(l > 0) limn→∞vnun=l(l>0)或 lim n → ∞ u n v n = + ∞ \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty limn→∞vnun=+∞，且级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn发散，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un发散
定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）
设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un为正项级数，如果
lim n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho n→∞limunun+1=ρ
那么
-
ρ < 1 \rho< 1 ρ<1时，级数收敛
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ρ > 1 \rho>1 ρ>1或 lim n → ∞ u n + 1 u n = ∞ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty limn→∞unun+1=∞时级数发散
-
ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散
定理5（比值审敛法，柯西判别法）
设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un为正项级数，如果
lim n → ∞ u n n = ρ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho n→∞limnun=ρ
那么当
- ρ < 1 \rho < 1 ρ<1时级数收敛
- ρ > 1 \rho > 1 ρ>1或 lim n → ∞ u n n = + ∞ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty limn→∞nun=+∞时级数发散
- ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时级数可能收敛，可能发散
定理6（极限审敛法）
（1）如果 lim n → ∞ n u n = l > 0 \lim_{n\rightarrow\infty} nu_n = l > 0 limn→∞nun=l>0或 lim n → ∞ n u n = + ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} nu_n =+\infty limn→∞nun=+∞，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un发散
（2）如果 p > 1 p > 1 p>1，而 lim n → ∞ n p u n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) \lim_{n\rightarrow\infty}n^p u_n = l(0 \leq l < +\infty) limn→∞npun=l(0≤l<+∞)，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛
二、交错级数及其审敛法
定义：交错级数
各项都是交错的，例如
u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . . . u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + ..... u1−u2+u3−u4+.....
或
− u 1 + u 2 − u 3 + u 4 − . . . . . -u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - ..... −u1+u2−u3+u4−.....
定理7（莱布尼茨定理）
如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n ∑n=1∞(−1)n−1un满足条件
（1） u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . . ) u_n \geq u_{n+1}\quad(n = 1, 2, 3,....) un≥un+1(n=1,2,3,....)
（2） lim n → ∞ u n = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}u_n = 0 limn→∞un=0
三、绝对收敛与条件收敛
定义
一般的级数
u 1 + u 2 + . . . . + u n + . . . u_1 + u_2 + .... +u_n +... u1+u2+....+un+...
其各项为任意实数
如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un各项的绝对值所构成的正项级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{\infty}|u_n| ∑n=1∞∣un∣收敛
那么称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un绝对收敛
如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛，而级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un发散
则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un条件收敛
定理8
如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un绝对收敛，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un必定收敛
结语
说明：
- 参考于 课本《高等数学》
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正
