数字传输系统的最佳接收与误码分析

(209) 2024-02-28 18:01:01

文章目录

  • 数字传输系统的最佳接收与误码分析
      • 1、概述
      • 2、系统模型
            • 信道带宽无限时的单极性基带传输
            • 信道带宽受限时的双极性基带传输
            • 信道带宽受限时的QPSK传输
            • 信道带宽受限时的16QAM传输
      • 3、误码性能分析
            • 信道带宽无限时的单极性基带传输
            • 信道带宽受限时的双极性基带传输
            • 信道带宽受限时的QPSK传输
            • 信道带宽受限时的16QAM传输
      • 4、仿真模型与仿真过程
            • 信道带宽无限时的单极性基带传输
            • 信道带宽受限时的双极性基带传输
            • 信道带宽受限时的QPSK传输
            • 信道带宽受限时的16QAM传输
            • 误比特率与信噪比曲线
      • 5、仿真结果分析
            • 信道带宽无限时的单极性基带传输
            • 信道带宽受限时的双极性基带传输
            • 信道带宽受限时的QPSK传输
            • 信道带宽受限时的16QAM传输
            • 误比特率与信噪比曲线
      • 6、结论
      • 7、参考文献

数字传输系统的最佳接收与误码分析

1、概述

​ 在数字传输系统中,系统的误码率定义为错误的码元个数除以传输的总码元个数。根据定义,虽然可以依据发送的码元个数和出错的码元个数直接通过计算方法可以获得误码率,但我们必须先要有了通信系统,不论是实际工作的通信系统,还是仿真系统,进行了随机试验,才能够得到结果。因此,本文首先对系统的误码率进行理论分析,获取误码率的理论值,再通过仿真的方式将仿真结果与理论误码率进行对比并分析。

​ 数字传输系统的模型中,从发射机产生发送信号,首先通过信道,再进入接收机。在通信原理课程中,信道主要考虑加性高斯白噪声 ( A W G N ) (AWGN) (AWGN)信道。总的来看, A W G N AWGN AWGN信道有两类,带宽无限的 A W G N AWGN AWGN信道,以及带宽有限的 A W G N AWGN AWGN信道。为了使误码率尽量小,接收端采用匹配滤波器。由于码型的不同,单极性码和双极性码产生的误码率可能不同。因此本文主要针对以下四种系统进行分析:

  • 信道带宽无限时的单极性基带传输
  • 信道带宽受限时的双极性基带传输
  • 信道带宽受限时的QPSK传输
  • 信道带宽受限时的16QAM传输

2、系统模型

​ 对于数字基带传输系统,其基本模型如下图所示:

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第1张
图 2.1 数 字 基 带 传 输 系 统 模 型 图 图2.1 \quad 数字基带传输系统模型图 2.1

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第2张
图 2.2 Q P S K 系 统 框 图 图2.2 \quad QPSK系统框图 2.2QPSK

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第3张
图 2.3 M Q A M 系 统 框 图 图2.3\quad MQAM系统框图 2.3MQAM

信道带宽无限时的单极性基带传输

​ 对于带宽无限的 A W G N AWGN AWGN信道,其传递函数 C ( f ) C(f) C(f)在整个频率轴上都是一个恒定的值。对于单极性信号,其离散幅度值 a i = { A , 0 } a_i=\{A,0\} ai={
A,0}
。由于归零码可以等效看成一个 T s T_s Ts更小的不归零码,因此采用不归零码或归零码的区别可以看作是不同信息速率的区别,故采用不归零码进行仿真分析。不归零码幅值影响可以归一化到 a i a_i ai中去,取其幅值为 1 1 1,即发送滤波器冲激响应 g T ( t ) g_T(t) gT(t)满足:
g T ( t ) = { 1 0 ≤ t ≤ T s 0 其 他 (2.1.1) g_T(t)=\begin{cases} 1 & 0\leq t\leq T_s\\ 0 & 其他 \end{cases} \tag{2.1.1} gT(t)={
100tTs
(2.1.1)

发射机发送的信号 s i ( t ) s_i(t) si(t)有:
s i ( t ) = { s 1 ( t ) = A 发 “ 1 ” s 2 ( t ) = 0 发 “ 0 ” 0 ≤ t ≤ T s (2.1.2) s_i(t)=\begin {cases} s_1(t)=A&发“1”\\ s_2(t)=0&发“0” \end{cases}\qquad 0\leq t \leq T_s \tag{2.1.2} si(t)={
s1(t)=As2(t)=010
0
tTs(2.1.2)

​ 由于匹配滤波器与接收信号匹配时信噪比最低,故令匹配滤波器与 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)匹配,即与 g T ( t ) g_T(t) gT(t)匹配。满足:
g R ( t ) = K g T ( T s − t ) 0 ≤ t ≤ T s (2.1.3) g_R(t)=Kg_T(T_s-t) \qquad 0\leq t\leq T_s \tag{2.1.3} gR(t)=KgT(Tst)0tTs(2.1.3)
为方便分析,取 K = 1 K=1 K=1

信道带宽受限时的双极性基带传输

​ 对于带宽有限的 A W G N AWGN AWGN信道,其传递函数 C ( f ) C(f) C(f)可以看成一个理想低通滤波器。即归一化幅频特性有:
C ( f ) = { 1 ∣ f ∣ ≤ B W 0 其 他 (2.2.1) C(f)=\begin{cases} 1 & |f|\leq BW\\ 0 & 其他 \end{cases} \tag{2.2.1} C(f)={
10fBW
(2.2.1)

其中 B W BW BW为该信道的带宽。

​ 为了使基带成型网络满足无码间干扰,需要满足奈奎斯特第一准则。即:
∑ m = − ∞ ∞ H ( f + m T s ) = K (2.2.2) \sum_{m=-\infty}^{\infty}H(f+\frac{m}{Ts})=K \tag{2.2.2} m=H(f+Tsm)=K(2.2.2)
其中 H ( f ) H(f) H(f)为基带成型网络的传递函数,即 H ( f ) = G T ( f ) C ( f ) G R ( f ) H(f)=G_T(f)C(f)G_R(f) H(f)=GT(f)C(f)GR(f) K K K为任一常数。

​ 同时为了使误码率尽量小, G R ( f ) G_R(f) GR(f)采用匹配滤波器,与 G T ( f ) G_T(f) GT(f)匹配。由于信道带宽受限,若发送滤波器的冲激响应仍采用方波,那么其频谱 S a Sa Sa函数带宽无限,通过信道会损失信息。因此发送信号的带宽不应该超过信道带宽 B W BW BW,同时应充分利用信道,故假设 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的带宽为 B W BW BW

​ 根据设计要求,可取 H ( f ) H(f) H(f)为升余弦滤波器,滚降因子 α \alpha α。根据理论计算,可以给出一种既满足无符号间干扰,又能使误码率最低的设计为:
G T ( f ) = G R ( f ) = X r c o s ( f ) (2.2.3) G_T(f)=G_R(f)=\sqrt{X_{rcos}(f)} \tag{2.2.3} GT(f)=GR(f)=Xrcos(f)
(2.2.3)

其中 X r c o s ( f ) X_{rcos}(f) Xrcos(f)是升余弦滚降传递函数。

​ 对于双极性码,其离散幅度值 a i = { A , − A } a_i=\{A,-A\} ai={
A,A}
。故发送的符号为:
s i ( t ) = { s 1 ( t ) = A ⋅ g T ( t ) 发 “ 1 ” s 2 ( t ) = − A ⋅ g T ( t ) 发 “ 0 ” 0 ≤ t ≤ T s (2.2.4) s_i(t)=\begin {cases} s_1(t)=A\cdot g_T(t)&发“1”\\ s_2(t)=-A\cdot g_T(t)&发“0” \end{cases}\qquad 0\leq t \leq T_s \tag{2.2.4} si(t)={
s1(t)=AgT(t)s2(t)=AgT(t)10
0
tTs(2.2.4)

其中 g T ( t ) g_T(t) gT(t)是发送滤波器的单位冲激响应,即 g T ( t ) = F − 1 { G T ( t ) } = F − 1 { X r c o s ( f ) } g_T(t)=\mathcal F^{-1}\{G_T(t)\}=\mathcal F^{-1}\{\sqrt{X_{rcos}(f)}\} gT(t)=F1{
GT(t)}=
F1{
Xrcos(f)
}

信道带宽受限时的QPSK传输

​ 四相移相键控 ( Q P S K ) (QPSK) (QPSK)又名四进制移相键控,是一种频带传输方式。我们首先分析带宽无限时的频带传输,再进一步拓展到带宽受限的情况。 Q P S K QPSK QPSK正弦载波有4个可能的离散相位状态,每个载波相位携带2个二进制符号,其信号表示式为:
s i ( t ) = A c o s ( ω c t + θ i ) i = 1 , 2 , 3 , 4 0 ≤ t ≤ T s (2.3.1) s_i(t)=Acos(\omega_ct+\theta_i)\quad i=1,2,3,4 \quad 0 \leq t \leq T_s\tag{2.3.1} si(t)=Acos(ωct+θi)i=1,2,3,40tTs(2.3.1)
T s T_s Ts为四进制符号间隔, θ i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) \theta_i(i=1,2,3,4) θi(i=1,2,3,4)为载波相位,有4种可能的状态。此处,取 θ i = ( 2 i − 1 ) π 4 \theta_i=(2i-1)\frac{\pi}{4} θi=(2i1)4π进行分析。

​ 式(2.3.1)可写成
s i ( t ) = A c o s ( ω c t + θ i ) = A ( c o s θ i c o s ω c t − s i n θ i s i n ω c t ) 0 ≤ t ≤ T s (2.3.2) s_i(t)=Acos(\omega_ct+\theta_i)=A(cos\theta_icos\omega_ct-sin\theta_isin\omega_ct) \quad 0 \leq t \leq T_s \tag{2.3.2} si(t)=Acos(ωct+θi)=A(cosθicosωctsinθisinωct)0tTs(2.3.2)
其中 θ i = π / 4 , 3 π / 4 , 5 π / 4 , 7 π / 4 \theta_i=\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4 θi=π/4,3π/4,5π/4,7π/4。此时有
c o s θ i = ± 1 2 ; s i n θ i = ± 1 2 (2.3.3) cos\theta_i=\pm\frac1{\sqrt{2}};sin\theta_i=\pm\frac1{\sqrt{2}}\tag{2.3.3} cosθi=±2
1
;sinθi=
±2
1
(2.3.3)

​ 因此,式(2.3.2)可写成
s i ( t ) = A 2 [ I ( t ) c o s ω c t − Q ( t ) s i n ω c t ) 0 ≤ t ≤ T s (2.3.4) s_i(t)=\frac{A}{\sqrt2}[I(t)cos\omega_ct-Q(t)sin\omega_ct) \quad 0 \leq t \leq T_s \tag{2.3.4} si(t)=2
A
[I(t)cosωct
Q(t)sinωct)0tTs(2.3.4)

其中 I ( t ) = ± 1 , Q ( t ) = ± 1 , 0 ≤ t ≤ T s I(t)=\pm1,Q(t)=\pm1,0\leq t\leq T_s I(t)=±1,Q(t)=±1,0tTs

​ 从系统框图中可以看出,首先将信息速率为 R b R_b Rb的二进制序列 a n a_n an进行串并变换,分成两路速率减半的二进制序列,分别通过发送滤波器后得到基带信号波形 I ( t ) I(t) I(t) Q ( t ) Q(t) Q(t)。此时发送滤波器的单位冲激响应为一个矩形窗口,和信道带宽无限的双极性基带传输类似。 I ( t ) I(t) I(t) Q ( t ) Q(t) Q(t)这两个支路分别被称为同向支路和正交支路,将它们分别与载波 c o s ω c t cos\omega_ct cosωct − s i n ω c t -sin\omega_ct sinωct相乘,得到两支路的 2 P S K 2PSK 2PSK信号,将其相加后即可得到带宽无限时的 Q P S K QPSK QPSK信号。

​ 当带宽受限时,基带成型网络需要满足奈奎斯特第一准则。根据之前的讨论,当发送滤波器和匹配滤波器均为根升余弦时可满足奈奎斯特第一准则。因此发送滤波器和基带匹配滤波器均满足
G T ( f ) = G R ( f ) = X r c o s ( f ) (2.3.5) G_T(f)=G_R(f)=\sqrt{X_{rcos}(f)} \tag{2.3.5} GT(f)=GR(f)=Xrcos(f)
(2.3.5)

​ 此时 I ( t ) I(t) I(t) Q ( t ) Q(t) Q(t)不再是方波信号,而是根升余弦信号。即
I ( t ) = Q ( t ) = ± F − 1 { X r c o s ( f ) 0 ≤ t ≤ T s (2.3.6) I(t)=Q(t)=\pm\mathcal F^{-1}\{\sqrt{X_{rcos}(f)}\quad 0\leq t\leq T_s\tag{2.3.6} I(t)=Q(t)=±F1{
Xrcos(f)
0
tTs(2.3.6)

​ 接受滤波器采用匹配滤波器。分别与 s 1 ( t ) = A 2 I ( t ) c o s ω c t s_1(t)=\frac A{\sqrt2}I(t)cos\omega_ct s1(t)=2
A
I(t)cosωct
s 2 ( t ) = − A 2 Q ( t ) s i n ω c t s_2(t)=-\frac A{\sqrt2}Q(t)sin\omega_ct s2(t)=2
A
Q(t)sinωct
匹配。因此频带匹配滤波器的单位冲激响应有 h 1 ( t ) = K s 1 ( T s − t ) h_1(t)=Ks_1(T_s-t) h1(t)=Ks1(Tst) h 2 ( t ) = K s 2 ( T s − t ) h_2(t)=Ks_2(T_s-t) h2(t)=Ks2(Tst),同样为了方便分析,取 K = 1 K=1 K=1。因此频带解调器的框图如图2所示,在抽样点处,其等效为先与载波相乘后通过基带匹配滤波器。基带匹配滤波器采用根升余弦滤波器,如式2.3.5所示。

信道带宽受限时的16QAM传输

​ 正交幅度调制 ( Q A M ) (QAM) (QAM)是由两个正交载波的多电平振幅键控信号叠加而成的,它的两个支路的多电平幅度序列是相互独立的。 M M M进制正交幅度调制 ( M Q A M ) (MQAM) (MQAM)信号表示式
s M Q A M ( t ) = a i c g T ( t ) c o s ω c t − a i s g T ( t ) s i n ω c t i = 1 , 2 , ⋯   , M 0 ≤ t ≤ T s (2.4.1) s_{MQAM}(t)=a_{i_c}g_T(t)cos\omega_ct-a_{i_s}g_T(t)sin\omega_ct\quad i=1,2,\cdots,M\quad 0\leq t\leq T_s \tag{2.4.1} sMQAM(t)=aicgT(t)cosωctaisgT(t)sinωcti=1,2,,M0tTs(2.4.1)
其中 { a i c } \{a_{i_c}\} {
aic}
{ a i s } \{a_{i_s}\} {
ais}
是一组离散电平的集合, g T ( t ) g_T(t) gT(t)是基带成型滤波器的冲激响应。

M Q A M MQAM MQAM信号可以用两个归一化正交基函数的线性组合表示,及
s t ( t ) = s i 1 f 1 ( t ) + s i 2 f 2 ( t ) i = 1 , 2 , ⋯   , M 0 ≤ t ≤ T s (2.4.2) s_t(t)=s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)\quad i=1,2,\cdots,M\quad 0\leq t\leq T_s \tag{2.4.2} st(t)=si1f1(t)+si2f2(t)i=1,2,,M0tTs(2.4.2)
其中,两个归一化正交基函数为
f 1 ( t ) = 2 E g g T ( t ) c o s ω c t 0 ≤ t ≤ T s (2.4.3) f_1(t)=\sqrt{\frac2{E_g}}g_T(t)cos\omega_ct\quad 0\leq t\leq T_s \tag{2.4.3} f1(t)=Eg2
gT(t)cosωct0
tTs(2.4.3)

f 2 ( t ) = − 2 E g g T ( t ) s i n ω c t 0 ≤ t ≤ T s (2.4.4) f_2(t)=-\sqrt{\frac2{E_g}}g_T(t)sin\omega_ct\quad 0\leq t\leq T_s \tag{2.4.4} f2(t)=Eg2
gT(t)sinωct0
tTs(2.4.4)

系数可以通过定义计算
s i 1 = ∫ 0 T s s i ( t ) f 1 ( t ) d t = a i c E g 2 i = 1 , 2 , ⋯   , M (2.4.5) s_{i1}=\int_0^{T_s}s_i(t)f_1(t)dt=a_{i_c}\sqrt{\frac{E_g}2}\quad i=1,2,\cdots,M\tag{2.4.5} si1=0Tssi(t)f1(t)dt=aic2Eg
i=
1,2,,M(2.4.5)

s i 2 = ∫ 0 T s s i ( t ) f 2 ( t ) d t = a i s E g 2 i = 1 , 2 , ⋯   , M (2.4.6) s_{i2}=\int_0^{T_s}s_i(t)f_2(t)dt=a_{i_s}\sqrt{\frac{E_g}2}\quad i=1,2,\cdots,M\tag{2.4.6} si2=0Tssi(t)f2(t)dt=ais2Eg
i=
1,2,,M(2.4.6)

​ 因此 M Q A M MQAM MQAM可用二维矢量表示为
s i ⃗ = [ s i 1 , s i 2 ] = [ a i c E g 2 , a i s E g 2 ] i = 1 , 2 , ⋯   , M (2.4.7) \vec{s_i}=[s_{i1},s_{i2}]=[a_{i_c}\sqrt{\frac{E_g}2},a_{i_s}\sqrt{\frac{E_g}2}] \quad i=1,2,\cdots,M\tag{2.4.7} si
=
[si1,si2]=[aic2Eg
,ais2Eg
]i=
1,2,,M(2.4.7)

其中 E g E_g Eg为脉冲 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的能量。

​ 信道带宽受限时,发送滤波器应为带限信号。同时为满足无码间干扰条件,故取发送滤波器为根升余弦滤波器,即
G T ( f ) = X r c o s ( f ) (2.4.8) G_T(f)=\sqrt{X_{rcos}(f)} \tag{2.4.8} GT(f)=Xrcos(f)
(2.4.8)

g T ( t ) = F − 1 { X r c o s ( f ) 0 ≤ t ≤ T s (2.4.9) g_T(t)=\mathcal F^{-1}\{\sqrt{X_{rcos}(f)}\quad 0\leq t\leq T_s\tag{2.4.9} gT(t)=F1{
Xrcos(f)
0
tTs(2.4.9)

​ 对于 16 Q A M 16QAM 16QAM { a i c } \{a_{i_c}\} {
aic}
{ a i s } \{a_{i_s}\} {
ais}
的取值满足
a i = 2 i − 1 − M i = 1 , 2 , ⋯   , M (2.4.10) a_i=2i-1-\sqrt M \quad i=1,2,\cdots,\sqrt{M} \tag{2.4.10} ai=2i1M
i=
1,2,,M
(2.4.10)

其中 M = 16 M=16 M=16

​ 因此,有
{ a i c } = { a i s } = { − 3 , − 1 , 1 , 3 } (2.4.11) \{a_{i_c}\}=\{a_{i_s}\}=\{-3,-1,1,3\}\tag{2.4.11} {
aic}=
{
ais}=
{
3,1,1,3}
(2.4.11)

​ 在二进制序列转 M \sqrt M M
进制序列时,一般采用格雷码编码。即

二进制序列 00 01 11 10
a i c a_{i_c} aic -3 -1 1 3
a i s a_{i_s} ais -3 -1 1 3

表 2.1 16 Q A M 星 座 映 射 表 表2.1\quad 16QAM星座映射表 2.116QAM

3、误码性能分析

​ 实际误码性能取决于发送二进制信息序列中 0 0 0 1 1 1的概率分布。为了方便分析,设 0 0 0 1 1 1等概率出现。即满足 P 0 = P 1 = 0.5 P_0=P_1=0.5 P0=P1=0.5

信道带宽无限时的单极性基带传输

​ 对于带宽无线单极性基带传输系统,发射滤波器产生发送信号并经过 A W G N AWGN AWGN信道后,接收机收到的信号 r ( t ) r(t) r(t)满足 r ( t ) = s i ( t ) + n w ( t ) r(t)=s_i(t)+n_w(t) r(t)=si(t)+nw(t)。当发送 “ 1 ” “1” 1时, s i ( t ) = s 1 ( t ) s_i(t)=s_1(t) si(t)=s1(t)。经过接收滤波器与抽样器后的信号有:
y = ∫ 0 T s [ s 1 ( t ) + n w ( t ) ] ⋅ s 1 ( t ) d t = E s 1 + Z (3.1.1) y = \int_{0}^{T_s}[s_1(t)+n_w(t)]\cdot s_1(t)dt=E_{s1}+Z \tag{3.1.1} y=0Ts[s1(t)+nw(t)]s1(t)dt=Es1+Z(3.1.1)
其中 E s 1 = ∫ 0 T s s 1 2 ( t ) d t = A 2 T s E_{s1}=\int_{0}^{T_s}s_1^2(t)dt=A^2T_s Es1=0Tss12(t)dt=A2Ts s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)的能量, Z Z Z为一个随机变量,服从零均值高斯分布,即 Z ∼ N ( 0 , σ 2 ) Z\sim N(0,\sigma^2) ZN(0,σ2)。方差 σ 2 = N 0 2 E s 1 \sigma^2=\frac{N_0}{2}E_{s1} σ2=2N0Es1 N 0 N_0 N0为高斯白噪声的单边功率谱密度。

​ 当发送 “ 0 ” “0” 0时, s i ( t ) = s 0 ( t ) s_i(t)=s_0(t) si(t)=s0(t)。经过接受滤波器与抽样器后的信号有:
y = ∫ 0 T s [ s 2 ( t ) + n w ( t ) ] ⋅ s 1 ( t ) d t = E s 2 + Z (3.1.2) y = \int_{0}^{T_s}[s_2(t)+n_w(t)]\cdot s_1(t)dt=E_{s2}+Z \tag{3.1.2} y=0Ts[s2(t)+nw(t)]s1(t)dt=Es2+Z(3.1.2)
其中 E s 2 = ∫ 0 T s s 1 ( t ) ⋅ s 2 ( t ) d t = 0 E_{s2}=\int_{0}^{T_s}s_1(t)\cdot s_2(t)dt=0 Es2=0Tss1(t)s2(t)dt=0 Z Z Z同样也服从均值为 0 0 0,方差 σ 2 \sigma^2 σ2的高斯分布。

​ 平均符号能量 E b = P 0 E s 2 + P 1 E s 1 = E s 1 2 = A 2 T s 2 E_b = P_0E_{s2}+P_1E_{s1}=\frac{E_{s1}}2=\frac{A^2T_s}2 Eb=P0Es2+P1Es1=2Es1=2A2Ts。综上,发送 1 1 1时, y 1 ∼ N ( 2 E b , σ 2 ) y_1 \sim N(2E_{b},\sigma^2) y1N(2Eb,σ2) y 0 ∼ N ( 0 , σ 2 ) y_0\sim N(0,\sigma^2) y0N(0,σ2)。最优判决门限取 V T = E s 1 2 V_T = \frac{E_{s1}}2 VT=2Es1

​ 此时判决器输出 y y y的两条概率密度函数曲线如下图所示:

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第4张

图 3.1 带 宽 无 限 单 极 性 基 带 传 输 判 决 器 输 出 概 率 密 度 函 数 曲 线 图3.1 \quad 带宽无限单极性基带传输判决器输出概率密度函数曲线 3.1线
​ 误符号率 P e 0 = P e 1 = Q ( E b N 0 ) P_{e0}=P_{e1}=Q(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}) Pe0=Pe1=Q(N0Eb
)
,误码率 P e = P 0 P e 0 + P 1 P e 1 = Q ( E b N 0 ) P_e=P_0P_{e0}+P_1P_{e1}=Q(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}) Pe=P0Pe0+P1Pe1=Q(N0Eb
)

信道带宽受限时的双极性基带传输

​ 对于带宽受限的双极性基带传输系统,发送滤波器和匹配滤波器均采用平方根升余弦滚降传递函数,其频域带宽为 B W BW BW。因此理想带限 A W G N AWGN AWGN信道不会对发送波形产生影响。接收机接收信号满足 r ( t ) = s i ( t ) + n w ( t ) r(t)=s_i(t)+n_w(t) r(t)=si(t)+nw(t)。当发送 “ 1 ” “1” 1时, s i ( t ) = s 1 ( t ) s_i(t)=s_1(t) si(t)=s1(t)。经过接收滤波器与抽样器后的信号有:
y = ∫ 0 T s [ s 1 ( t ) + n w ( t ) ] ⋅ s 1 ( t ) d t = E s 1 + Z (3.2.1) y = \int_{0}^{T_s}[s_1(t)+n_w(t)]\cdot s_1(t)dt=E_{s1}+Z \tag{3.2.1} y=0Ts[s1(t)+nw(t)]s1(t)dt=Es1+Z(3.2.1)

其中 E s 1 = ∫ − ∞ ∞ g T 2 ( t ) d t E_{s1}=\int_{-\infty}^{\infty}g_T^2(t)dt Es1=gT2(t)dt为平方根升余弦滚降传递函数的能量, Z Z Z为随机变量,服从零均值高斯分布,即 Z ∼ N ( 0 , σ 2 ) Z\sim N(0,\sigma^2) ZN(0,σ2)。方差 σ 2 = N 0 2 E s 1 \sigma^2=\frac{N_0}{2}E_{s1} σ2=2N0Es1 N 0 N_0 N0为高斯白噪声的单边功率谱密度。

​ 发送 “ 0 ” “0” 0时,对于双极性传输系统,有 s 2 = − s 1 s_{2}=-s_{1} s2=s1。故经过接收滤波器与抽样器后的信号有:
y = ∫ 0 T s [ s 2 ( t ) + n w ( t ) ] ⋅ s 1 ( t ) d t = E s 2 + Z (3.2.2) y = \int_{0}^{T_s}[s_2(t)+n_w(t)]\cdot s_1(t)dt=E_{s2}+Z \tag{3.2.2} y=0Ts[s2(t)+nw(t)]s1(t)dt=Es2+Z(3.2.2)

其中 E s 2 = − E s 1 E_{s2}=-E{s1} Es2=Es1 Z Z Z同样也服从均值为 0 0 0,方差 σ 2 \sigma^2 σ2的高斯分布。

​ 平均符号能量 E b = P 0 E s 2 + P 1 E s 1 = E s 1 E_b = P_0E_{s2}+P_1E_{s1}=E_{s1} Eb=P0Es2+P1Es1=Es1。综上,发送 1 1 1时, y 1 ∼ N ( E b , σ 2 ) y_1 \sim N(E_{b},\sigma^2) y1N(Eb,σ2) y 0 ∼ N ( E b , σ 2 ) y_0\sim N(E_{b},\sigma^2) y0N(Eb,σ2)。最优判决门限取 V T = 0 V_T = 0 VT=0

​ 此时判决器输出 y y y的两条概率密度函数曲线如下图所示:

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第5张
图 3.2 带 宽 受 限 双 极 性 基 带 传 输 判 决 器 输 出 概 率 密 度 函 数 曲 线 图3.2 \quad 带宽受限双极性基带传输判决器输出概率密度函数曲线 3.2线
​ 误符号率 P e 0 = P e 1 = Q ( 2 E b N 0 ) P_{e0}=P_{e1}=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}) Pe0=Pe1=Q(N02Eb
)
,误码率 P e = P 0 P e 0 + P 1 P e 1 = Q ( 2 E b N 0 ) P_e=P_0P_{e0}+P_1P_{e1}=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}) Pe=P0Pe0+P1Pe1=Q(N02Eb
)

信道带宽受限时的QPSK传输

​ 信道中传输的符号 s i ( t ) = A 2 [ I ( t ) c o s ω c t − Q ( t ) s i n ω c t ) 0 ≤ t ≤ T s s_i(t)=\frac{A}{\sqrt2}[I(t)cos\omega_ct-Q(t)sin\omega_ct) \quad 0 \leq t \leq T_s si(t)=2
A
[I(t)cosωct
Q(t)sinωct)0tTs
。其能量有
E s = ∫ 0 T s s i 2 ( t ) d t = ∫ 0 T s A 2 2 [ I ( t ) c o s ω c t − Q ( t ) s i n ω c t ] 2 d t = A 2 2 ∫ 0 T s [ I 2 ( t ) c o s 2 ω c t + Q 2 ( t ) s i n 2 ω c t − 2 I ( t ) Q ( t ) c o s ω c t s i n ω c t ] d t (3.3.1) E_s=\int_0^{T_s}s_i^2(t)dt=\int_0^{T_s}\frac{A^2}{2}[I(t)cos\omega_ct-Q(t)sin\omega_ct]^2dt \\=\frac{A^2}{2}\int_0^{T_s}[I^2(t)cos^2\omega_ct+Q^2(t)sin^2\omega_ct-2I(t)Q(t)cos\omega_ctsin\omega_ct]dt\tag{3.3.1} Es=0Tssi2(t)dt=0Ts2A2[I(t)cosωctQ(t)sinωct]2dt=2A20Ts[I2(t)cos2ωct+Q2(t)sin2ωct2I(t)Q(t)cosωctsinωct]dt(3.3.1)
根据正交性, ∫ 0 T s 2 I ( t ) Q ( t ) c o s ω c t s i n ω c t ] d t = 0 \int_0^{T_s}2I(t)Q(t)cos\omega_ctsin\omega_ct]dt=0 0Ts2I(t)Q(t)cosωctsinωct]dt=0,故式3.2.3有
E s = A 2 2 ∫ 0 T s [ I 2 ( t ) c o s 2 ω c t + Q 2 ( t ) s i n 2 ω c t ] d t = A 2 2 ∫ 0 T s [ 1 2 I 2 ( t ) ( 1 + c o s 2 ω c t ) + 1 2 Q 2 ( t ) ( 1 − 2 c o s ω c t ) ] d t ≈ A 2 4 ∫ 0 T s [ I 2 ( t ) + Q 2 ( t ) ] d t = A 2 2 E s 0 (3.3.2) E_s=\frac{A^2}{2}\int_0^{T_s}[I^2(t)cos^2\omega_ct+Q^2(t)sin^2\omega_ct]dt \\=\frac{A^2}{2}\int_0^{T_s}[\frac12I^2(t)(1+cos2\omega_ct)+\frac12Q^2(t)(1-2cos\omega_ct)]dt \\ \approx\frac{A^2}{4}\int_0^{T_s}[I^2(t)+Q^2(t)]dt=\frac{A^2}{2}E_{s0}\tag{3.3.2} Es=2A20Ts[I2(t)cos2ωct+Q2(t)sin2ωct]dt=2A20Ts[21I2(t)(1+cos2ωct)+21Q2(t)(12cosωct)]dt4A20Ts[I2(t)+Q2(t)]dt=2A2Es0(3.3.2)
其中 E s 0 = ∫ 0 T s I 2 ( t ) d t = ∫ 0 T s Q 2 ( t ) d t E_{s0}=\int_0^{T_s}I^2(t)dt=\int_0^{T_s}Q^2(t)dt Es0=0TsI2(t)dt=0TsQ2(t)dt为发送滤波器单位冲激信号的能量。

​ 由于符号速率为原本二进制序列速率的一般,即 T s = 2 T b T_s=2T_b Ts=2Tb。每个符号携带两个二进制数据,故每个二进制数据的平均能量为
E b = 1 2 E s = A 2 4 E s 0 = A 2 4 ∫ 0 2 T b I 2 ( t ) d t (3.3.3) E_b=\frac12E_s=\frac{A^2}{4}E_{s0}=\frac{A^2}{4}\int_0^{2T_b}I^2(t)dt\tag{3.3.3} Eb=21Es=4A2Es0=4A202TbI2(t)dt(3.3.3)
​ 计算 Q P S K QPSK QPSK解调的误比特率有两种方法:一是先计算误符率,再根据误符率计算从四进制符号译为二进制符号的误比特率;另一种是沿用 2 P S K 2PSK 2PSK匹配滤波器解调的误比特率公式。由于解调框图将 s ( t ) s(t) s(t)分成两路分别进行解调,直接计算误符率较为麻烦,故采用第二种方式。

​ 设 I ( t ) I(t) I(t)对应原始二进制序列偶数位, Q ( t ) Q(t) Q(t)对应奇数位,首先考虑偶数位的情况。当某个偶数位发送符号 ′ 1 ′ '1' 1时, I 1 ( t ) = F − 1 { X r c o s ( f ) I_1(t)=\mathcal F^{-1}\{\sqrt{X_{rcos}(f)} I1(t)=F1{
Xrcos(f)
;发送符号 ′ 0 ′ '0' 0时, I 2 ( t ) = − F − 1 { X r c o s ( f ) I_2(t)=-\mathcal F^{-1}\{\sqrt{X_{rcos}(f)} I2(t)=F1{
Xrcos(f)
。对于同向支路的匹配滤波器,当发送符号 ′ 1 ′ '1' 1时,抽样后信号有
y 1 = ∫ 0 T s s ( t ) h 1 ( t ) d t = ∫ 0 T s [ s i ( t ) + s q ( t ) + n w ( t ) ] s 1 ( t ) d t = ∫ 0 T s s 1 2 ( t ) + s q ( t ) s 1 ( t ) + n w ( t ) s 1 ( t ) d t = ∫ 0 T s s 1 2 ( t ) + n w ( t ) s 1 ( t ) d t = E s 1 + Z (3.3.4) y_1=\int_0^{T_s}s(t)h_1(t)dt=\int_0^{T_s}[s_i(t)+s_q(t)+n_w(t)]s_1(t)dt \\ = \int_0^{T_s}s_1^2(t)+s_q(t)s_1(t)+n_w(t)s_1(t)dt \\ = \int_0^{T_s}s_1^2(t)+n_w(t)s_1(t)dt=E_{s1}+Z \tag{3.3.4} y1=0Tss(t)h1(t)dt=0Ts[si(t)+sq(t)+nw(t)]s1(t)dt=0Tss12(t)+sq(t)s1(t)+nw(t)s1(t)dt=0Tss12(t)+nw(t)s1(t)dt=Es1+Z(3.3.4)
其中 s i ( t ) = s 1 ( t ) = A 2 I ( t ) c o s ω c t s_i(t)=s_1(t)=\frac{A}{\sqrt2}I(t)cos\omega_ct si(t)=s1(t)=2
A
I(t)cosωct
s q ( t ) = − A 2 Q ( t ) s i n ω c t s_q(t)=-\frac{A}{\sqrt2}Q(t)sin\omega_ct sq(t)=2
A
Q(t)sinωct
E s 1 = E b = A 2 4 E s 0 E_{s1}=E_b=\frac{A^2}{4}E_{s0} Es1=Eb=4A2Es0

​ 根据匹配滤波器最佳接收相关知识,随机变量 Z Z Z满足
Z ∼ N ( 0 , N 0 2 E s 1 ) (3.3.5) Z\sim N(0,\frac{N_0}2E_{s1})\tag{3.3.5} ZN(0,2N0Es1)(3.3.5)
N 0 N_0 N0为高斯白噪声单边功率谱密度。

​ 因此,抽样后信号 y 1 y_1 y1满足
y 1 ∼ N ( E s 1 , N 0 2 E s 1 ) (3.3.6) y_1\sim N(E_{s1},\frac{N_0}2E_{s1})\tag{3.3.6} y1N(Es1,2N0Es1)(3.3.6)
​ 同理,当发送符号 ′ 0 ′ '0' 0时,抽样后信号 y 2 y_2 y2满足
y 2 ∼ N ( − E s 1 , N 0 2 E s 1 ) (3.3.7) y_2 \sim N(-E_{s1},\frac{N_0}2E_{s1})\tag{3.3.7} y2N(Es1,2N0Es1)(3.3.7)
​ 判决器输出 y y y的两条概率密度函数曲线如图5所示。因此偶数位的误比特率位
P e I = Q ( 2 E b N 0 ) (3.3.8) P_{eI}=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}})\tag{3.3.8} PeI=Q(N02Eb
)
(3.3.8)

​ 奇数位的情况同理,采用正交支路的匹配滤波器,有
P e = P e I = P e Q = Q ( 2 E b N 0 ) (3.3.9) P_e=P_{eI}=P_{eQ}=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}})\tag{3.3.9} Pe=PeI=PeQ=Q(N02Eb
)
(3.3.9)

信道带宽受限时的16QAM传输

​ 矩形 16 Q A M 16QAM 16QAM的信号空间图如下图所示。

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第6张
图 3.3 16 Q A M 信 号 空 间 图 图3.3\quad 16QAM信号空间图 3.316QAM
​ 矩形 16 Q A M 16QAM 16QAM的信号空间图中矢量端点的分布是矩形的,两个相邻的信号矢量的欧氏距离为
d m i n = 2 E g = 6 E b l o g 2 M M − 1 M = 16 (3.4.1) d_{min}=\sqrt{2E_g}=\sqrt{\frac{6E_blog_2M}{M-1}}\quad M=16\tag{3.4.1} dmin=2Eg
=
M16Eblog2M
M=
16(3.4.1)

其中 E g E_g Eg为成型滤波器脉冲 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的能量。

​ 矩形 16 Q A M 16QAM 16QAM的最佳接收误符率取决与数字基带 M P A M MPAM MPAM的误符率,其正确判断符号的概率为
P c = ( 1 − P M ) 2 (3.4.2) P_c=(1-P_{\sqrt M})^2 \tag{3.4.2} Pc=(1PM
)2
(3.4.2)

式中, P M P_{\sqrt M} PM
表示同向或正交支路 M \sqrt M M
进制 A S K ASK ASK的误符率,该 M \sqrt M M
进制 A S K ASK ASK的平均功率是 M Q A M MQAM MQAM信号总的平均功率 P s P_s Ps的一半,即
P M = 2 ( 1 − 1 M ) Q ( d m i n 2 2 N 0 ) (3.4.3) P_{\sqrt M}=2(1-\frac{1}{\sqrt M})Q(\sqrt{\frac{d_{min}^2}{2N_0}})\tag{3.4.3} PM
=
2(1M
1
)Q(2N0dmin2
)
(3.4.3)

M Q A M MQAM MQAM误符率为
P M = 1 − P c = 1 − ( 1 − P M ) 2 = 2 P M − P M 2 (3.4.4) P_M=1-P_c=1-(1-P_{\sqrt M})^2=2P_{\sqrt {M}}-P^2_{\sqrt {M}} \tag{3.4.4} PM=1Pc=1(1PM
)2=
2PM
PM
2
(3.4.4)

​ 忽略平方项的影响,有
P M ≈ 4 ( 1 − 1 M ) Q ( 3 M − 1 ⋅ E s N 0 ) M = 16 (3.4.5) P_M\approx 4(1-\frac{1}{\sqrt M})Q(\sqrt{\frac{3}{M-1}\cdot\frac{E_s}{N_0}}) \quad M=16\tag{3.4.5} PM4(1M
1
)Q(M13N0Es
)M=
16(3.4.5)

​ 当采用格雷码,且信噪比 E b / N 0 E_b/N_0 Eb/N0较大时, M Q A M MQAM MQAM的误比特率近似等于
P b ≈ P M l o g 2 M (3.4.6) P_b\approx \frac{P_M}{log_2M}\tag{3.4.6} Pblog2MPM(3.4.6)

4、仿真模型与仿真过程

​ 本文采用 M A T L A B MATLAB MATLAB作为仿真工具搭建仿真模型。对于基带传输系统,取传输速率 R b = 100 b p s R_b=100bps Rb=100bps,为满足奈奎斯特采样定理且考虑到运算速度,取采样频率 1000 H z 1000Hz 1000Hz。对于频带传输系统,取信息传输速率 R b = 100 b p s R_b=100bps Rb=100bps,采样频率 8000 H z 8000Hz 8000Hz,载波信号频率 f c = 250 H z f_c=250Hz fc=250Hz,为保证传输足够多的符号体现误码率统计学特性,取仿真总持续时间 T = 500 s T=500s T=500s。此外,为了方便对比误码率结果,取平均符号信噪比 S N R b = 5 d B SNR_b=5dB SNRb=5dB S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB作为对照。

平均符号信噪比定义为:
S N R b = E b N 0 = 10 l o g 10 E b N 0 ( d B ) (4.3.1) SNR_b=\frac{E_b}{N_0}=10log_{10}\frac{E_b}{N_0}(dB) \tag{4.3.1} SNRb=N0Eb=10log10N0Eb(dB)(4.3.1)

信道带宽无限时的单极性基带传输

​ 发送滤波器持续时间 T s = 0.01 s T_s=0.01s Ts=0.01s,取幅值为 1 1 1。分别取信噪比 S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB S N R b = 5 d B SNR_b=5dB SNRb=5dB,分析不同噪声大小对波形即误码率的影响。

​ 系统参数设置如下:

clear all;
%------------------
%系统参数设置
%------------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=500;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/1000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
r_s=100;%传输速率
T_s=1/r_s;%符号长度
NumBits=T*r_s;%传输比特数
A = 1;%gT(t)幅值
V_T = 0.5*A*A*T_s/T_sample;
rng(2,'twister');%固定随机数种子,可重复性

​ 发送端:

%------------------
%发射机
%------------------
b1 = randi([0 1],NumBits,1);%输入01序列
%进行内插
b2=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
b2(1,:)=b1;
b3=reshape(b2,1,f_sample/r_s*NumBits);
%发送滤波器波形
g_T = ones(1,T_s/T_sample);
%通过发送滤波器
s = conv(b3,g_T);

​ 带宽无限 A W G N AWGN AWGN信道:

%------------------
%通过带宽无限的AWGN信道
%------------------
%通过SNR计算N0
SNR = -1;
%SNR = 5;
Es1 = A*A*T_s;
Eb = Es1/2;
N_0= Eb/(10^(SNR/10));
noise_w=wgn(1,length(s),N_0/2*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;

​ 接收机:

%------------------
%接收机
%------------------
g_R = g_T;%与s1(t)匹配
yt = conv(r,g_R);
%抽样,判决
b_r=zeros(1,NumBits);
for i = 1:NumBits
    k = T_s/T_sample;%间隔点
    x = i * k;
    if(yt(x)<V_T)
        b_r(i) = 0;
    else
        b_r(i) = 1;
    end
end

​ 参数计算:

%参数计算
BER = length(find(b1 ~= b_r'))/NumBits
BER_TH = qfunc(sqrt(Es1/(2*N_0)))
SNR = 10*log10(Es1/(2*N_0))

​ 绘图部分见附录中源代码。

信道带宽受限时的双极性基带传输

​ 发送滤波器和匹配滤波器用 r c o s d e s i g n rcosdesign rcosdesign函数,取滚降因子 α = 0.25 \alpha = 0.25 α=0.25 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的截断符号数取 6 s y m b o l 6symbol 6symbol,每个符号的抽样点数为 T s / T s a m p l e T_s/T_{sample} Ts/Tsample,形状为根升余弦。

​ 系统参数设置如下:

clear all;
%------------------
%系统参数设置
%------------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=500;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/1000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
r_s=100;%传输速率
T_s=1/r_s;%符号长度
V_T = 0;%判决门限
NumBits=T*r_s;%传输比特数
%升余弦滤波器参数
alpha=0.25;%df=alpha*rs=25Hz
rng(2,'twister');%固定随机数种子,可重复性

​ 发送端:

%------------------
%发射机
%------------------
b1 = randi([0 1],NumBits,1);%输入01序列
b2 = sign(b1-0.5);
%进行内插
b3=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
b3(1,:)=b2;
b4=reshape(b3,1,f_sample/r_s*NumBits);
%发送滤波器波形
%rcosdesign 滚降系数,截断符号数,符号采样点数,类型
g_T = rcosdesign(alpha,6,T_s/T_sample,'sqrt');%6个Ts的根升余弦信号,
%通过发送滤波器
s = conv(b4,g_T);

​ 理想带限 A W G N AWGN AWGN信道:

%------------------
%通过带宽有限的AWGN信道
%------------------
E_NTs = 0:length(g_T)-1;
E_Ts = E_NTs*T_sample;
Es1 = trapz(E_Ts,g_T.^2);
Eb = Es1;
SNR = 5;
N_0 = Eb/(10^(SNR/10));
noise_w=wgn(1,length(s),N_0/2*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;

​ 接收机:

%------------------
%接收机
%------------------
g_R = g_T;%与s1(t)匹配
yt = conv(r,g_R);
%抽样
%产生抽样序列
sample1=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
sample1(1,:)=ones(1,NumBits);
sample2=reshape(sample1,1,f_sample/r_s*NumBits);
%去掉最开始的暂态响应
sample3=zeros(1,length(yt));
sample3(length(g_T):length(g_T)-1+f_sample/r_s*NumBits)=sample2;
%抽样,去掉多余的0
y2=yt.*sample3;
y2(:,all(y2==0,1))=[];%去掉多余的0
%判决
b_r=(sign(y2)+1)*0.5;

​ 参数计算:

%计算误码率和信噪比
BER = length(find(b1 ~= b_r'))/NumBits
BER_TH = qfunc(sqrt((2*Es1)/N_0))
SNR = 10*log10(Es1/N_0)
信道带宽受限时的QPSK传输

​ 发送滤波器和匹配滤波器用 r c o s d e s i g n rcosdesign rcosdesign函数,取滚降因子 α = 0.25 \alpha = 0.25 α=0.25 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的截断符号数取 6 s y m b o l 6symbol 6symbol,每个符号的抽样点数为 T s / T s a m p l e T_s/T_{sample} Ts/Tsample,形状为根升余弦。

​ 对于 Q P S K QPSK QPSK,符号速率 R s = 1 2 R b = 50 B a u d R_s=\frac12R_b=50Baud Rs=21Rb=50Baud,符号间隔 T s = 2 T b = 0.02 s T_s=2T_b=0.02s Ts=2Tb=0.02s

​ 系统参数设置如下:

clear all;
%------------------
%系统参数设置
%------------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=500;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/8000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
r_b=100;%传输速率
T_b=1/r_b;%比特长度
r_s=r_b/2;%符号速率
T_s=2*T_b;%符号长度
NumBits=T*r_b;%传输比特数
V_T = 0;%判决门限
%升余弦滤波器参数
alpha=0.25;%df=alpha*rs=25Hz
%载波信号参数
fc = 250;
rng(2,'twister');%固定随机数种子,可重复性

​ 发送端:

%------------------
%发射机
%------------------
b1 = randi([0 1],NumBits,1);%输入01序列
b2 = sign(b1-0.5);
%内插
b3=zeros(f_sample/r_b,NumBits);
b3(1,:)=b2;
b4=reshape(b3,1,f_sample/r_b*NumBits);
%分支路
bQ0 = b2(1:2:end);
bI0 = b2(2:2:end);
%进行内插
bQ = upsample(bQ0,2*f_sample/r_b)';
bI = upsample(bI0,2*f_sample/r_b)';
%发送滤波器波形
%%平方根升余弦滤波器 阶数,截止频率,过度带宽,采样频率
%%g_T=firrcos(NumCoff,r_b/2,alpha*r_b,f_sample);
%rcosdesign 滚降系数,截断符号数,符号采样点数,类型
g_T = rcosdesign(alpha,6,T_s/T_sample,'sqrt');%6个Ts的根升余弦信号,
%g_T = ones(1,T_s/T_sample);%测试
%通过匹配滤波器
bQ1 = conv(bQ,g_T);
bI1 = conv(bI,g_T);
%载波信号
tnI =1:length(bI1);
tI = tnI.*T_sample;
c1 = cos(2*pi*fc*tI);
tnQ =1:length(bQ1);
tQ = tnQ.*T_sample;
c2 = -sin(2*pi*fc*tQ);
%输出信号
sI = bI1.*c1;
sQ = bQ1.*c2;
s=sI+sQ;

​ 理想带限 A W G N AWGN AWGN信道:

%------------------
%通过带宽有限的AWGN信道
%------------------
%N_0=10^(-6);
%计算Es1功率
E_NTs = 0:length(g_T)-1;
E_Ts = E_NTs*T_sample;
Es1 = trapz(E_Ts,g_T.^2);
Eb = Es1/2;
SNR = 5;
N_0 = Eb/(10^(SNR/10));

noise_w=wgn(1,length(s),N_0/2*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;

​ 接收机:

%------------------
%接收机
%------------------
rI1 = r.*c1;
rQ1 = r.*c2;

yIt = conv(rI1,g_T);
yQt = conv(rQ1,g_T);
%采样
%产生抽样序列
sample1=zeros(f_sample/r_s,NumBits/2);
sample1(1,:)=ones(1,NumBits/2);
sample2=reshape(sample1,1,f_sample/r_s*NumBits/2);
%去掉最开始的暂态响应
sample3=zeros(1,length(yIt));
sample3(length(g_T):length(g_T)+f_sample/r_s*NumBits/2-1)=sample2;
%抽样,去掉多余的0
yI=yIt.*sample3;
yI(:,all(yI==0,1))=[];%去掉多余的0
b_I=(sign(yI)+1)*0.5;
yQ=yQt.*sample3;
yQ(:,all(yQ==0,1))=[];%去掉多余的0
b_Q=(sign(yQ)+1)*0.5;
%并串变换
b_r = [1,length(b_I)+length(b_Q)];
for i = 1 : length(b_I)+length(b_Q)
    if  mod(i,2)==1
        b_r(1,i) = b_Q(1,(i+1)/2);
    else
        b_r(1,i) = b_I(1,i/2);
    end   
end

​ 参数计算:

%计算误码率和信噪比
BER = length(find(b1 ~= b_r'))/NumBits
BER_TH = qfunc(sqrt(2*Eb/N_0))
SNR = 10*log10(Eb/N_0)
信道带宽受限时的16QAM传输

​ 发送滤波器和匹配滤波器用 r c o s d e s i g n rcosdesign rcosdesign函数,取滚降因子 α = 0.25 \alpha = 0.25 α=0.25 g T ( t ) g_T(t) gT(t)的截断符号数取 8 s y m b o l 8symbol 8symbol,每个符号的抽样点数为 T s / T s a m p l e T_s/T_{sample} Ts/Tsample,形状为根升余弦。

​ 对于 16 Q A M 16QAM 16QAM,符号速率 R s = 1 4 R b = 25 B a u d R_s=\frac14R_b=25Baud Rs=41Rb=25Baud,符号间隔 T s = 4 T b = 0.04 s T_s=4T_b=0.04s Ts=4Tb=0.04s

​ 系统参数设置如下:

clear all;
%------------------
%系统参数设置
%------------------
%时间参数
T_start=0;%开始时间
T_stop=500;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/8000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
%信号参数
r_b=100;%传输速率
T_b=1/r_b;%比特长度
NumBits=T*r_b;%传输比特数
M = 16;%16QAM
K = log2(M);
T_s = K*T_b;
r_s = 1/T_s;
%升余弦滤波器参数
alpha=0.25;%滚降因子
%载波信号参数
fc = 250;
rng(2,'twister');%固定随机数种子,可重复性

​ 发送端:

%------------------
%发射机
%------------------
b1 = randi([0 1],NumBits,1);%输入01序列
b2 = sign(b1-0.5);
%串并变换
bQ0 = b2(1:2:end)';
bI0 = b2(2:2:end)';
%二进制转四进制
qQ0 = [1,length(bQ0)/2];
qI0 = [1,length(bI0)/2];
for i = 1:2:length(bQ0)
    if bQ0(1,i)==-1 && bQ0(1,i+1)==-1
        qQ0(1,(i+1)/2)=-3;
    elseif bQ0(1,i)==-1 && bQ0(1,i+1)==1
        qQ0(1,(i+1)/2)=-1;
    elseif bQ0(1,i)==1 && bQ0(1,i+1)==1
        qQ0(1,(i+1)/2)=1;
    elseif bQ0(1,i)==1 && bQ0(1,i+1)==-1
        qQ0(1,(i+1)/2)=3;
    end    
end
for i = 1:2:length(bI0)
    if bI0(1,i)==-1 && bI0(1,i+1)==-1
        qI0(1,(i+1)/2)=-3;
    elseif bI0(1,i)==-1 && bI0(1,i+1)==1
        qI0(1,(i+1)/2)=-1;
    elseif bI0(1,i)==1 && bI0(1,i+1)==1
        qI0(1,(i+1)/2)=1;
    elseif bI0(1,i)==1 && bI0(1,i+1)==-1
        qI0(1,(i+1)/2)=3;
    end    
end
%进行内插
qQ = upsample(qQ0,4*f_sample/r_b);
qI = upsample(qI0,4*f_sample/r_b);
%成型滤波器
g_T = rcosdesign(alpha,8,T_s/T_sample,'sqrt');
It = conv(g_T,qI);
Qt = conv(g_T,qQ);
%载波
tnI =0:length(It)-1;
tI = tnI.*T_sample;
c1 = cos(2*pi*fc*tI);
sI = It.*c1;
tnQ =0:length(Qt)-1;
tQ = tnQ.*T_sample;
c2 = -sin(2*pi*fc*tQ);
sQ = Qt.*c2;
s = sI+sQ;

​ 理想带限 A W G N AWGN AWGN信道:

%------------------
%通过带宽有限的AWGN信道
%------------------
%N_0=5*10^(-5);
%计算Es1功率
E_NTs = 0:length(g_T)-1;
E_Ts = E_NTs*T_sample;
Es = trapz(E_Ts,g_T.^2);
E_b = (M-1)/(3*log2(M))*Es;
SNR = 5;
N_0 = E_b/(10^(SNR/10));
noise_w=wgn(1,length(s),N_0/2*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;

​ 接收机:

%------------------
%接收机
%------------------
tn = 0:length(g_T)-1;
t = tn.*T_sample;
cr = cos(2*pi*fc*t);
sr = -sin(2*pi*fc*t);
f1 = sqrt(2/Es)*g_T.*cr;
f2 = sqrt(2/Es)*g_T.*sr;
%卷积,f2为奇函数
yIt = conv(r,f1);
yQt = conv(r,-f2);
%采样
%产生抽样序列
sample1=zeros(f_sample/r_s,NumBits/K);
sample1(1,:)=ones(1,NumBits/K);
sample2=reshape(sample1,1,f_sample/r_s*NumBits/K);
%去掉最开始的暂态响应
sample3=zeros(1,length(yIt));
sample3(length(g_T):length(g_T)+f_sample/r_s*NumBits/K-1)=sample2;
%抽样,去掉多余的0
yI=yIt.*sample3;
yI(:,all(yI==0,1))=[];%去掉多余的0
yQ=yQt.*sample3;
yQ(:,all(yQ==0,1))=[];%去掉多余的0
%判决
%受卷积影响,乘f_sample
%噪声也受影响,故dmin不乘
V_T = sqrt(2*Es)*f_sample;
ybQ = [1,length(yQ)];
ybI = [1,length(yI)];
for i = 1:length(yI)
    if yI(1,i) >= V_T%3:10
        ybI(1,2*i-1) = 1;
        ybI(1,2*i)= 0;
    elseif yI(1,i)>=0 && yI(1,i)<V_T%2:11
        ybI(1,2*i-1) = 1;
        ybI(1,2*i)= 1;
    elseif yI(1,i)>=-V_T && yI(1,i)<0%-1:01
        ybI(1,2*i-1) = 0;
        ybI(1,2*i)= 1;
    elseif yI(1,i)<-V_T%-3:00
        ybI(1,2*i-1) = 0;
        ybI(1,2*i)= 0;
    end
end
for i = 1:length(yQ)
    if yQ(1,i) >= V_T%3:10
        ybQ(1,2*i-1) = 1;
        ybQ(1,2*i)= 0;
    elseif yQ(1,i)>=0 && yQ(1,i)<V_T%2:11
        ybQ(1,2*i-1) = 1;
        ybQ(1,2*i)= 1;
    elseif yQ(1,i)>=-V_T && yQ(1,i)<0%-1:01
        ybQ(1,2*i-1) = 0;
        ybQ(1,2*i)= 1;
    elseif yQ(1,i)<-V_T%-3:00
        ybQ(1,2*i-1) = 0;
        ybQ(1,2*i)= 0;
    end
end
%并串变换
b_r = [1,length(ybQ)+length(ybI)];
for i=1:length(ybQ)
    b_r(1,2*i-1)=ybQ(1,i);
    b_r(1,2*i) = ybI(1,i);
end

​ 参数计算:

%计算误码率和信噪比
BER = length(find(b1 ~= b_r'))/NumBits
dmin = sqrt(2*Es);
PsqrtM = 2*(1-1/(sqrt(M)))*qfunc(sqrt(dmin^2/(2*N_0)));
PM = 2*PsqrtM - (PsqrtM)^2;
Pb = PM/(log2(M))
误比特率与信噪比曲线

​ 单极性基带传输误码率 P b 1 = Q ( S N R b ) P_{b1}=Q(\sqrt{SNR_b)} Pb1=Q(SNRb)
,双极性基带传输误码率 P b 2 = = Q ( 2 S N R b ) P_{b2=}=Q(\sqrt{2SNR_b}) Pb2==Q(2SNRb
)
Q P S K QPSK QPSK的误码率 P b 3 = Q ( 2 S N R b ) P_{b3}=Q(\sqrt{2SNR_b}) Pb3=Q(2SNRb
)
16 Q A M 16QAM 16QAM的误码率 P b 4 = 4 ( 1 − 1 M ) Q ( 3 l o g 2 M M − 1 ⋅ S N R b ) P_{b4}=4(1-\frac1{\sqrt M})Q(\sqrt{\frac{3log2M}{M-1}\cdot SNR_b}) Pb4=4(1M
1
)Q(M13log2MSNRb
)
。利用 M A T L A B MATLAB MATLAB绘制误码率与信噪比的曲线。代码如下:

sn=0.1:0.01:10; % 定义信噪比序列
SNR = 0.1:0.1:7;
snlg=10*log10(sn); % 将信噪比转化为dB表示
SNlg=10*log10(SNR);
per1 = qfunc(sqrt(sn)); 
per2 = qfunc(sqrt(2.*sn));
per3 = qfunc(sqrt(2.*sn));
per4 = (1-1/4).*qfunc(sqrt(12/15.*sn));
per11 = [1,length(SNlg)];
per21 = [1,length(SNlg)];
per31 = [1,length(SNlg)];
per41 = [1,length(SNlg)];
for i = 1:length(SNlg)
    [BER1,BER_TH1]=getUniPolar_BER(SNlg(1,i));
    per11(i)=BER1;
    [BER2,BER_TH2]=getBPolar_BER(SNlg(1,i));
    per21(i)=BER2; 
    [BER3,BER_TH3]=getQPSK_BER(SNlg(1,i));
    per31(i)=BER3;
    [BER4,BER_TH4]=get16QAM_BER(SNlg(1,i));
    per41(i)=BER4; 
end
semilogy(snlg,per1);
hold on;
semilogy(snlg,per2);
hold on;
semilogy(snlg,per3);
hold on;
semilogy(snlg,per4);
hold on;
semilogy(SNlg,per11,'+');
hold on;
semilogy(SNlg,per21,'*');
hold on;
semilogy(SNlg,per31,'o');
hold on;
semilogy(SNlg,per41,'.');
axis([-1,10,10^-6,0.3]);
legend('单极性理论','双极性理论','QPSM理论','16QAM理论','单极性实际','双极性实际','QPSM实际','16QAM实际','NumColumns',2);
title('匹配滤波器最佳接收的平均误比特率曲线');
xlabel('输入信噪比');
ylabel('误比特率');

5、仿真结果分析

信道带宽无限时的单极性基带传输

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第7张
图 5.1 S N R b = − 1 d B 时 带 宽 无 限 单 极 性 基 带 传 输 仿 真 结 果 图 图5.1 \quad SNR_b=-1dB时带宽无限单极性基带传输仿真结果图 5.1SNRb=1dB仿

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第8张
图 5.2 S N R b = 5 d B 时 带 宽 无 限 单 极 性 基 带 传 输 仿 真 结 果 图 图5.2 \quad SNR_b=5dB时带宽无限单极性基带传输仿真结果图 5.2SNRb=5dB仿

S N R b / d B SNR_b/dB SNRb/dB -1 5
理论误码率 0.1864 0.0377
实际误码率 0.1826 0.0364
相对误差 η b \eta_b ηb -2.04% 3.45%

表 5.1 带 宽 无 限 单 极 性 基 带 传 输 参 数 计 算 结 果 表5.1 \quad 带宽无限单极性基带传输参数计算结果 5.1
​ 表中,该系统实际误码率通过定义计算,即传输的错误比特数除以总比特数。理论误码率通过 Q Q Q函数计算。可以看出,在 S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB时,接收机收到的信号以及较为杂乱,但是大部分符号仍然能够正确恢复。理论误码率和实际误码率接近。

信道带宽受限时的双极性基带传输

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第9张
图 5.3 带 宽 受 限 双 极 性 基 带 传 输 仿 真 发 送 端 波 形 图 图5.3\quad带宽受限双极性基带传输仿真发送端波形图 5.3仿
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第10张
图 5.4 S N R b = − 1 d B 时 带 宽 受 限 双 极 性 基 带 传 输 仿 真 结 果 图 图5.4 \quad SNR_b=-1dB时带宽受限双极性基带传输仿真结果图 5.4SNRb=1dB仿
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第11张
图 5.5 S N R b = 5 d B 时 带 宽 受 限 双 极 性 基 带 传 输 仿 真 结 果 图 图5.5 \quad SNR_b=5dB时带宽受限双极性基带传输仿真结果图 5.5SNRb=5dB仿

S N R b / d B SNR_b/dB SNRb/dB -1 5
理论误码率 0.1038 0.0060
实际误码率 0.1029 0.0062
相对误差 η b \eta_b ηb -8.67% 3.33%

表 5.2 带 宽 受 限 双 极 性 基 带 传 输 参 数 计 算 结 果 表5.2 \quad 带宽受限双极性基带传输参数计算结果 5.2
​ 其中 B E R BER BER B E R T H BER_{TH} BERTH S N R SNR SNR的定义同上。可以看出,在 S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB时,信噪比小于零,噪声的功率已经大于了信号的功率,接收机收到的信号和原始发送信号已经存在较大差距,实际误码率达到了 10 % 10\% 10%。实际误码率与理论误码率存在误差,这是由于噪声的随机分布导致的。此外,可以看出在平均符号信噪比相同时,双极性基带传输的理论和实际误码率均好于单极性。

信道带宽受限时的QPSK传输

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第12张
图 5.6 发 送 序 列 、 同 向 支 路 及 正 交 支 路 序 列 图 图5.6\quad 发送序列、同向支路及正交支路序列图 5.6
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第13张
图 5.7 发 射 机 信 号 仿 真 波 形 图 图5.7 \quad 发射机信号仿真波形图 5.7仿
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第14张
图 5.8 S N R b = 5 d B 时 接 收 端 信 号 波 形 图 图5.8 \quad SNR_b=5dB时接收端信号波形图 5.8SNRb=5dB
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第15张
图 5.9 S N R b = − 1 d B 时 接 收 端 信 号 波 形 图 图5.9 \quad SNR_b=-1dB时接收端信号波形图 5.9SNRb=1dB

S N R b / d B SNR_b/dB SNRb/dB -1 5
理论误码率 0.1038 0.0060
实际误码率 0.1017 0.0060
相对误差 η b \eta_b ηb -2.02% 0.00%

表 5.3 信 道 带 宽 受 限 时 的 Q P S K 传 输 参 数 计 算 结 果 表5.3\quad 信道带宽受限时的QPSK传输参数计算结果 5.3QPSK

​ 可以看出,在信噪比相同时, Q P S K QPSK QPSK的误码率和双极性码的误码率相同,且与理论值较为接近。

信道带宽受限时的16QAM传输

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第16张

图 5.10 发 送 序 列 、 同 向 支 路 及 正 交 支 路 M 进 制 序 列 图 图5.10 \quad 发送序列、同向支路及正交支路\sqrt M进制序列图 5.10M

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第17张
图 5.11 发 射 机 发 送 信 号 波 形 图 图5.11\quad发射机发送信号波形图 5.11
数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第18张
图 5.12 S N R b = 5 d B 时 接 收 端 信 号 波 形 图 图5.12 \quad SNR_b=5dB时接收端信号波形图 5.12SNRb=5dB

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第19张
图 5.13 S N R b = − 1 d B 时 接 收 端 信 号 波 形 图 图5.13 \quad SNR_b=-1dB时接收端信号波形图 5.13SNRb=1dB

S N R b / d B SNR_b/dB SNRb/dB -1 5
理论误码率 0.1341 0.0401
实际误码率 0.1632 0.0411
相对误差 η b \eta_b ηb 21.7% 2.49%

表 5.4 信 道 带 宽 受 限 时 的 16 Q A M 传 输 参 数 计 算 结 果 表5.4\quad 信道带宽受限时的16QAM传输参数计算结果 5.416QAM

​ 可以发现,当信噪比 S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB时,理论和实际结果存在较大误差。这是由于在使用公式3.4.6计算理论误比特率时,默认了每个码元只产生 1 b i t 1bit 1bit的错误。这就要求信噪比 E b / N 0 E_b/N_0 Eb/N0较大。因此当 S N R b = − 1 d B SNR_b=-1dB SNRb=1dB时,噪声较大,每个码元不一定只错 1 b i t 1bit 1bit,因此实际的误比特率会比理论的要高

误比特率与信噪比曲线

数字传输系统的最佳接收与误码分析 (https://mushiming.com/)  第20张
图 5.14 匹 配 滤 波 器 最 佳 接 收 的 平 均 误 比 特 率 曲 线 图5.14 \quad 匹配滤波器最佳接收的平均误比特率曲线 5.14线
​ 该图为匹配滤波器最佳接收的平均误比特率对比曲线。可以看出双极性和 Q P S K QPSK QPSK的平均误比特率曲线相同,且理论值和仿真值接近。 16 Q A M 16QAM 16QAM和单极性的误比特率相对较高,且在信噪比大时,理论与实际较为接近。而信噪比较低时, 16 Q A M 16QAM 16QAM的理论值和实际仿真值出现较大差距。

6、结论

​ 从仿真结果中可以看出,对于两种系统,理论误码率与实际测试的误码率都存在一定差异,但差异都不是太大。这是由于在仿真时,每个点加入的加性高斯白噪声是实际高斯白噪声的一个抽样,而理论结果考虑的是一个随机变量。因此单次的仿真不能完全体现加性高斯白噪声的统计规律。可以通过延长仿真时间,或提高传输速率来增加传输的点数,从而让仿真结果更加接近理论值。此外也可以用多次实验取平均值的方法来进行逼近理论值。

​ 在输入信噪比相同时,可以看出无论是理论误码率还是实际误码率,双极性基带传输都优于单极性基带传输,从匹配滤波器最佳接收的平均误比特率曲线中也能得到相同的结论。这是由于采用双极性传输时,发送 0 0 0和发送 1 1 1接收到的信号幅值相差更大,高斯白噪声的影响相对更小,因此误码率也就更小。

​ 对于带限系统,发送滤波器一般选用根升余弦滤波器。由于理论的根升余弦滤波器是无限长非因果的,因此无法物理上实现。而 M A T L A B MATLAB MATLAB中提供的根升余弦滤波器是一个经过了时移、截断和抽样的序列,因此在系统设计时要考虑这些因素。截取时间越长,通过匹配滤波器抽样后的码间干扰越小。最终抽样时第一个抽样点需要避开时移导致的暂态响应。

​ 在进行理论分析时,很重要的是分清楚各种能量之间的区别。 E b E_b Eb E s E_s Es E g E_g Eg之间的关系以及对最终误码率的影响。其中 E b E_b Eb是平均比特能量,体现了传输系统中平均每比特信号携带的能量; E s E_s Es是符号能量,是经过进制转换、成型滤波器成型、与载波相乘后的符号信号的能量; E g E_g Eg是发送滤波器的单位冲激响应的能量。

​ 本次仿真实验加深了我对频带传输、基带传输;带宽有限信道、带宽无限信道以及各种传输方式的理论和仿真的理解,明确地了各种解调方式中各种能量的关系和对误码率的影响。

7、参考文献

[1] 周炯槃.通信原理(第4版).北京:北京邮电大学出版社,2015.8

[2] Wavelet Toolbox User’s Guide[M]. Mathworks Inc, 2018

[3] tanghonghanhaoli.现代通信原理10.1:带宽无限信道下采用低通滤波器(LPF)接收时的误码性能分析, https://blog.csdn.net/tanghonghanhaoli/article/details/102943440

[4]tanghonghanhaoli.现代通信原理A.5:数字基带传输系统误码性能仿真,https://blog.csdn.net/tanghonghanhaoli/article/details/103415857

THE END

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