回归分析 课程_本科教学四个回归

1 问题描述

 如果我们把最后的1也视为参数，那么我们有：

展示在图上，我们的目标就是找到最接近观测点的一条直线

        注意一点，我们的核心目标是找到模型最贴切的参数，这一组参数下的模型在所有可能的数据中有最小的误差函数  

        所有可能的意思是训练数据和非训练数据      

2 损失函数：MSE

写成矩阵的形式，MSE可以表示为：（这里β是线性回归的系数）

为了找到最小值， 我们可以将MSE对β进行求导

（推导过程可见机器学习笔记：线性回归_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客 1）

令关于β的偏导为0，那么有：       

 

β*又称最小二乘法ordinary least squares （OLS）

 2.1 一定是极小值点嘛？

 但是，偏导为0不一定表示它就是最小值点，因为有可能是：

极小值点、极大值点、鞍点（在某一些维度是极小值，某一些维度是极大值）

那么，如何说明它是极小值点呢？

我们先回忆一下一元二次方程

 

对于多维度函数，我们考虑它的何塞矩阵(Hessian Matrix) 

 

我们回顾一下正定和负定：

正定性见：NTU 21fall-CE 7454（deep learning for data science）笔记_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客 2.10 

对于极小值、极大值和鞍点，我们有：

（直接类比，大于0相当于向上开口；小于零相当于向下开口）

 

 

 

 二阶偏导，也就是何塞矩阵，是一个半正定矩阵，我们从定义上就可以说明之：

        对任何一个非零向量z，

        令a=Xz，=a的每个维度的平方和，肯定大于等于0

        所以Hessian矩阵半正定，即一阶偏导为0的点是极小值点。

而又由于MSE是一个凸函数，所以极小值点也就是最小值点

 2.2 可逆吗？

        如果点的数量n比特征的维度p大，并且至少p个点是线性无关的，那么 满秩，即可逆 

        反之，如果特征的数量p比点的数量n多，那么不可逆

3 逻辑斯蒂回归

3.1 sigmoid 函数

将所有结果压缩到[0~1]上——可以用来进行二元分类，σ(x)表示了一个类的概率

3.2 交叉熵的引入

        对于一个随机变量，假设类别1的概率是θ，类别0的概率是1-θ

        那么，出现n次1和m次0的概率是：

        取log+极大似然估计，有：

         将上式对θ求导，有，结果也是符合直观的

         我们引入逻辑斯蒂回归的损失函数：交叉熵