代数函数和超越函数_函数题

(46) 2024-06-17 21:01:01

代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第1张是一個代數數,那麼必然存在整数代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第2张代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第1张是以下方程的根:

代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第4张

 

 

数论中,超越数是指任何一个不是代数数的数字(通常它是复数)。它满足以下条件——只要它不是任何一个整系数代数方程,它即是超越数。最著名的超越数是e以及π

 定义

超越数是代数数的相反,也即是说若代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第5张是一个超越数,那么对于任何整数 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第6张 都符合:

代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第7张

 例子

超越数的例子包括:

  • 刘维尔 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第8张 常数:代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第9张
    它是第一个确认为超越数的数,是于 1844年刘维尔发现的。
  • e
  • 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第10张,其中代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第11张是除0以外的代数数。
  • π林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年)
  • eπ
  • 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第12张2的√2次方)。
    更一般地,若 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第13张 为以外的任何代数数及代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第14张 为无理代数数则 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第15张 必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理
  • sin 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第16张
  • ln 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第17张,其中 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第13张 为非一有理数
  • 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第19张 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第20张 ,代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第21张 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第22张及 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第23张 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第24张(参见伽玛函数)。

所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是,现今发现的超越数极少,甚至连代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第25张 是不是超越数也不知道,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

 

超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括著名的化圆为方问题,因 代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第26张 是超越数而被确定为不可能的了。

 参见

  • 多项式
  • 无理数
  • 代数数
  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理

 

 

代数函数是指包含开方等基本算符的数学函数非代数函数则被称为超越函数

 

例子

y = x2 表示一抛物线的方程,一以x为变量的二次代数函数。

 

数学领域中,超越函数代数函数相反,是指那些不满足任何以多项式方程的函数,即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说,超越函数就是"超出"代数函数范围的函数,也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算。

严格的说,关于变量 z 的解析函数 ƒ(z) 是超越函数,如果该函数是关于变量z代数无关的。

对数指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数,例如正弦余弦正割余割余切正矢半正矢等。

非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子有多项式平方根函数。

对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数。如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中,对倒数函数y = 1x不定积分得到的。以此方式得到的双曲函数 sinh, cosh, tanh 都是超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数无关的函数,例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

量綱分析

量綱分析里,超越函数是很非常有用的,因为它们只在其引数无量綱时才有意义。因此,超越函数可以是量綱错误的显著来源。例如,log(10 m) 是个毫无意义的表示式。log(10 m)不同于 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m,后两者是有实际意义的。log(10 利用对数恒等式,将m)展开为log(10) + log(m)能够更清晰的说明该问题: 一个有量綱的非代数运算会产生毫无意义的结果。

一些例子

以下列出的函数都是超越函数: 除了少数特殊的情况, 对于一般的x不能通过有限次代数运算求出f(x).

代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第27张
代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第28张
代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第29张
代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第30张
代数函数和超越函数_函数题 (https://mushiming.com/)  第31张
THE END

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