让微积分穿梭于工作与学习之间(12):从直边三角形到曲边三角形的面积计算

(121) 2024-04-25 20:01:01

上篇的末尾,我感觉写得难了。然后我想了想,在这篇开始曲边图形的面积计算之前,我拿一些具体的数字来演示上篇的直边三角形计算原理,这样好让大家有个过渡。

我们来看看下图这个三角形,用小学的公式来算非常简单。一眼就看得出来底为2,高为1,所以面积等于0.5*2*1=1

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然后我们改用微积分的方法来算,先把AB这条边投影到x轴所构成的直角梯形的面积给求出来。

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也不难,上图蓝色梯形的面积=0.5*(BO+AD)*OD=0.5*(2+1)*1=1.5

接下来就到下图的蓝色梯形。

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也是等于1.5。

按照前面的套路,这两部分面积要相加,结果为3。

然后就是减去矩形ACED的面积,如下图所示。

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它等于AC*AD=2。所以最后得出三角形ABC的面积为3-2=1,跟直接计算的结果一致。

有了这个套路之后,我们试着把其中一条边换成曲线,比如AC换成抛物线y=x^2。

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这时候,矩形的面积就应该被替换为抛物线弧y=x^2和AD,DE,EC所围成的图形的面积。

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上述式子看不懂的话可以自行查阅相关教材或者留言问我。

至此,我们就算出了曲边三角形的面积等于3-2/3=7/3。

相信用过这个方法的朋友都会发现,不管这些曲线有多复杂,只要它们围成的图形是一个合法的闭合图形,那么它算出来的面积一定是正确的,如果出现负数,那就是第3篇提到的绕序问题了,取一下绝对值即可。

有个这个例子之后,我们再来理解回上一篇最后给出的式子。

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我们来套一下。

首先i从0循环到2,然后i=0和i=1分别代表AB和BC,而i=2则代表抛物线弧y=x^2。

直线AB经过点A(-1, 1)和点(0,2),其方程为y=x+2,于是f0(x)=x+2,所以i=0时积分的结果等于

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这地方我直接给出梯形面积的结果,当然如果你了解微积分,那也可以用下面的方法进行手算。

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类似地,i=1时,有

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而i=2则换成抛物线方程了。

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注意到这个积分的上限比下限要小,然后符号也直接被携带在了积分的结果里面。这就意味着,我们在运用上面的积分求和公式时无需再自己手动去判断哪个该加哪个该减,只要确保积分上限是终点x坐标,而积分下限是起点x坐标即可。

如果不知道积分上限和积分下限是啥意思,那可以自行查阅相关资料或者留言问我。

至此,我通过一个具体的例子阐述了用微积分求图形(包括直边和曲边)面积的思路。希望大家在简单的案例下理解到这个看着有点复杂的积分公式。

下一篇我会讲解包含圆弧的多边形面积计算,说白了,圆弧也是一个套路,但是由于圆的y跟x并不是一对一的关系,而是一对多,所以还是需要一点技巧。敬请期待!

THE END

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