【矩阵论笔记】矩阵特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子

(39) 2024-05-01 13:01:01

矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ \lambda λ构成的矩阵。包含三个运算:
1、互换两行(列)
2、某行(列)乘非零常数
3、某行(列)乘多项式后加到另一行
n阶 λ \lambda λ矩阵可逆的充要条件是: A ( λ ) = 非 零 常 数 A(\lambda)=非零常数 A(λ)=
因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型。


由此引出smith标准型的概念:
1、最高次幂系数为1
2、 d ( λ i ) d(\lambda_i) d(λi)能够整除 d ( λ i + 1 ) d(\lambda_{i+1}) d(λi+1)
3、 λ \lambda λ矩阵的smith标准型是唯一的

用上面的三个运算可以把一个 λ \lambda λ矩阵化为smith标准型,举例:
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技巧:
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这样求smith标准型比较麻烦,容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法,为了学会这个方法,先要了解一些概念。

  1. 行列式因子
    k阶行列式因子是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。
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    上式中,分别求得了各阶的非0子式,然后在每一阶中找到最大公共子式,这就是行列式因子。
    性质:等价的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
    行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。

  2. 不变因子
    不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。
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    例:
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    如果一阶子式有一个数字,那么一阶行列式因子就是1。
    性质:两个 λ \lambda λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子,有相同的不变因子。

  3. 初等因子
    对不变因子做因式分解,得到1次因式方幂。
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性质:
一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。
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二、Jorden矩阵的初等因子为 【矩阵论笔记】矩阵特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子 (https://mushiming.com/)  第8张

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