缔合legendre函数_科学网—球谐函数及Legendre多项式 - 李继存的博文

​球谐函数及Legendre多项式2013-08-10 10:49:40

球谐函数是一类特殊函数。虽说被称为特殊函数，其实它们并没有什么特殊的地方，只不过比那些常见的指数函数、三角函数稍微复杂一些而已，你一旦熟悉了它们的性质，就不会再觉得它们有什么特殊了。

这类特殊函数之所以在物理、化学和计算机科学中都有着重要应用，是因为它们的独特性质：

1.构成一组正交基，任何球面上的函数都可以展为球谐函数的线性组合2.展开系数平方和具有旋转不变性

由性质1，我们可以把原子波函数的角度部分展开为球谐函数的线性组合。化学物理中为人熟知的原子轨道的角度部分就是球谐函数，常用的spdf轨道实际就是经过处理的几个球谐函数。

对性质2，在计算机图形学的形状识别中有着重要应用，许多识别算法就是基于球谐函数的旋转不变性。

定义：基于缔合Legendre多项式(Associated Legendre Polynomial)

$\mathrm Y_l^m = \sqrt{ {2l+1\over4\pi} {(l-m)!\over(l+m)!} } \mathrm P_l^m(\cos\theta)  \mathrm e^{im\phi}, m \in Z, \theta \in [0,\pi], \phi \in[0,2\pi]$

此定义式对m正负无要求，故$\mathrm Y^{\bar m}_l = \sqrt{ {2l+1\over4\pi} {(l+m)!\over(l-m)!} }\mathrm P_l^{\bar m}(\cos\theta) \mathrm e^{-im\phi}$

缔合Legendre多项式$\mathrm P_l^m(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} {\mathrm d^m \over \mathrm dx^m}\mathrm P_l(x), m>0$

若m取负值时，定义为$ \mathrm P_l^{\bar m} = (-1)^m {(l-m)! \over (l+m)!} \mathrm P_l^m(x) $故$ \mathrm Y^{\bar m}_l=\sqrt{
{2l+1 \over 4 \pi}{(l+m)! \over (l-m)!}}(-1)^m{(l-m)! \over (l+m)!} \mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{-im\phi} =\sqrt{
{2l+1 \over 4 \pi} {(l-m)! \over (l+m)!}} (-1)^m \mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{-im \phi}  =(-1)^m (\mathrm Y_l^m)^* $其中$(-1)^m$项称为Condon-Shortley相因子，有人会省略此项，Mathematica计算时会考虑此项。

此外，$ \mathrm Y_l^m(-\theta, -\phi) = [\mathrm Y_l^m(\theta,\phi)]^*$

由于Legendre多项式归一化条件为$\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m(x) \mathrm P_{l'}^m(x) dx = {2 \over 2l+1} {(l+m)!\over (l-m)!} \delta_{ll'}$

$\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m(x) \mathrm P_{l'}^{\bar m}(x) dx = (-1)^m {2 \over2l+1} \delta_{ll'}$

故可定义归一化Legendre多项式为$\hat {\mathrm P}_l^m(x) = \sqrt{ {2l+1 \over 2} {(l-m)! \over (l+m)!} }\mathrm P_l^m(x), m \in Z$

$\hat {\mathrm P}_l^{\bar m}(x) = (-1)^m \hat{\mathrm P}_l^m(x)$

其最大值为$\mathrm P_l^0(\pm 1)=\sqrt{2l+1 \over 2} $满足归一化条件$\int_{-1}^1 \hat {\mathrm P}_l^m(x) \hat {\mathrm P}_l^m(x) dx = 1$

$\int_{-1}^1 \hat {\mathrm P}_l^m(x) \hat {\mathrm P}_l^{\bar m}(x) dx =(-1)^m$

利用归一化条件，我们可以重新定义球谐函数为$\mathrm Y_l^m = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat {\mathrm P}_l^m(\cos\theta) \mathrm e^{im\phi}$

$|\mathrm Y_l^m| = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)$

$\Re{\mathrm Y_l^m} = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)\cos m\phi$

$\Im{\mathrm Y_l^m} = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)\sin m\phi$其中，$\hat{\mathrm P}_l^m$为归一化的Legendre多项式。

因此，球谐函数归一化条件可写为$\int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^{1} (\mathrm Y_l^m)^* \mathrm Y_l^m dx =\int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^{1} {1 \over 2\pi} \hat{\mathrm P}_l^m(x) \hat{\mathrm P}_l^m(x) dx = 1$

$ {\mathrm Y}_l^m $的计算实际上归结为计算缔合Legendre多项式${\mathrm P}_l^m $，根据不同需要，可适当采取下面几种方法：

●使用程序自带的库函数，若其中包含Legendre多项式

●使用Legendre多项式的显式公式，若计算的阶数不是很大

●利用如下递推关系进行计算，最通用的方法

$ (l-m)\mathrm P_l^m=x(2l-1)\mathrm P_{l-1}^m-(l+m-1)\mathrm P_{l-2}^m \mathrm P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}\mathrm P_{m+1}^m = x(2m+1)\mathrm P_m^m $

Numerical Recipes中有相应的源码，不再赘述。

计算$ {\mathrm Y}_l^m $时须计算$\sin(m \phi), \cos(m\phi)$，由于三角函数的计算较多项式为慢，因此可利用三角公式将其展开为$\sin\phi,cos\phi, \sin^2\phi, \cos^2\phi$的多项式。下面是m到6时的公式：$ \sin2\phi=2\sin\phi \cos\phi$

$ \cos2\phi=\cos^2\phi-\sin^2\phi $

$ \sin3\phi=\sin\phi(-\sin^2\phi+3\cos^2\phi)$

$ \cos3\phi= \cos\phi(\cos^2\phi-3\sin^2\phi)$

$ \sin4\phi=4\sin\phi \cos\phi(\cos^2\phi-\sin^2\phi)$

$ \cos4\phi= 1-8\sin^2\phi\cos^2\phi$

$ \sin5\phi=\sin\phi[1+4\cos^2\phi(\cos^2\phi-3\sin^2\phi)]$

$ \cos5\phi= \cos\phi[1+4\sin^2\phi(\sin^2\phi-3\cos^2\phi)]$

$ \sin6\phi=\sin\phi \cos\phi[6-32\sin^2\phi \cos^2\phi]$

$ \cos6\phi=(\cos^2\phi-\sin^2\phi)(1-16\sin^2\phi \cos^2\phi)$

当然，这些优化方法只有你需要大量计算${\mathrm Y}_l^m $时才能提高点速度，对于普通情况，你很可能感觉不到计算速度的变化。

下面是一些相关函数的图像。

可以看出，$\mathrm P_l^0(x) $也就是通常所说的Legendre多项式，为l阶多项式；$\mathrm P_l^m(x) $的奇偶性与l+m的奇偶一致。

参考：

中文wiki：

中文wiki：

Rotation Invariant Spherical Harmonic of 3D Shape，

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