4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结

(46) 2024-05-19 17:01:01
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第1张

一 命题趋势

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具,在高考中经常考查,有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时,要注意“拆、拼、凑”等技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件时,才可应用,否则可能会导致结果错误.

二 知识网络

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第2张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第3张

三 数学思想在不等式问题中的体现

1、分类讨论思想

例1.已知不等式4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第4张,(1)求该不等式中x的集合;(2)若1不是不等式的解,0是不等式的解,求k的取值范围。

解:(1)4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第5张

当k>1时,解集为

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第6张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第7张时,解集为4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第8张

当k<1时,解集为

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第9张

(2)

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第10张

所以4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第11张

小结:当一次项系数为0时,不等式成为两个常数比较大小的形式,与x取值无关。

因此,不等式的解集为R(不等式成立时)或(不等式不成立时)。

2、转化与化归思想

例2.已知a,b,c为正整数,且4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第12张,求4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第13张的值。

解:因为不等式两边均为正整数,所以不等式与不等式4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第14张等价,这个等价不等式又可转化为4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第15张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第16张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第17张

即a=2,b=3,c=6

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第18张

小结:将等式与不等式对应等价转化,是转化数学问题的常用且非常有效的手段。

3、换元思想

例3.解不等式

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第19张

解:若令4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第20张4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第21张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第22张,且4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第23张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第24张

∴不等式化为

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第25张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第26张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第27张

解得4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第28张

从而4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第29张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第30张

∴不等式的解集是4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第31张

4、数形结合思想

例4.设a<0为常数,解不等式4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第32张

解:不等式转化为4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第33张

令函数4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第34张4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第35张

其图象如图所示

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第36张

解得

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第37张

(舍去)

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第38张

∴两个函数图象的交点为

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第39张

由图知,当4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第40张时,函数4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第41张的图象位于函数4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第42张的图象的上方

∴不等式的解集是

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第43张

小结:在不等式的求解过程中,换元法和图象法是常用的技巧。

通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式,

通过构造函数,数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。

对含有参数的不等式,运用图象法,还可以使得分类标准更加明晰。

5、方程思想

例5. 已知4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第44张,求证4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第45张

分析:结论可以转化为4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第46张,恰好是一元二次方程有实根的必要条件。

解:由已知可化为4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第47张,这表明二次方程4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第48张有实根4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第49张,从而需要判别式4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第50张,即4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第51张成立。

6、构造思想

例6. 解不等式

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第52张

分析:本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做,运算较繁杂。

但注意到4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第53张,且题中出现4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第54张

启示我们构造函数去投石问路。

解:将原不等式化为

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第55张

则不等式等价于

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第56张

∵在R上为增函数

∴原不等式等价于

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第57张

解得4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第58张

7、整体思想

例7.已知4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第59张,且,求4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第60张的范围。

解:令4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第61张

可得

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第62张

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第63张

可解得4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第64张

小结:题中4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第65张,且是四个整体,在解题过程中,整体谋划,不能破坏其固有的整体结构。

四 典型例题精选

题型一 对公式的简单运用

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第66张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第67张

题型二:条件最值问题

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第68张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第69张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第70张

【小结】条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第71张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第72张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第73张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第74张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第75张

【小结】看好形式上的特点,分子分母同时除以自变量x,或通过其他变形出现基本不等式的可用情况,如积为定值的形式.需要注意的是等号成立的条件,如果不成立,则需转化为对勾函数的知识,运用求导并结合其图像解题.

题型四 多变量综合

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第76张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第77张

题型五 利用基本不等式证明

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第78张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第79张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第80张

【小结】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.

题型六 基本不等式应用题

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第81张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第82张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第83张

【小结】此题主要考察学生对直角三角形边角关系的应用,第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用,第一问属于简单题,第二问属于中等题.

以实际问题为背景的解题步骤:

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.

(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

总结

使用基本不等式求最值时,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.基本不等式问题经常以函数为依托,重点考查基本不等式的应用,充分体现了数学学科知识间的内在联系,能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力.其解题的关键是对已知函数进行适当的变形,以满足基本不等式应用的条件.

--END--

4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第84张
4个基本不等式的公式高中_高中数学:基本不等式知识点总结 (https://mushiming.com/)  第85张

THE END

发表回复