4个基本不等式的公式高中_高中数学：基本不等式知识点总结
一 命题趋势
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．
二 知识网络
三 数学思想在不等式问题中的体现
1、分类讨论思想
例1.已知不等式
，(1)求该不等式中x的集合；(2)若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。
解：(1)
当k>1时，解集为
当
时，解集为
当k<1时，解集为
(2)
所以
小结：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关。
因此，不等式的解集为R(不等式成立时)或(不等式不成立时)。
2、转化与化归思想
例2.已知a，b，c为正整数，且
，求
的值。
解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式与不等式
等价，这个等价不等式又可转化为
。
∴
∴
即a=2，b=3，c=6
小结：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有效的手段。
3、换元思想
例3.解不等式
解：若令
则
∵
，且
∴
∴不等式化为
即
∴
解得
从而
即
∴不等式的解集是
4、数形结合思想
例4.设a<0为常数，解不等式
。
解：不等式转化为
令函数
和
其图象如图所示
由
解得
(舍去)
∴两个函数图象的交点为
由图知，当
时，函数
的图象位于函数
的图象的上方
∴不等式的解集是
小结：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，
通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。
对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。
5、方程思想
例5. 已知
，求证
分析：结论可以转化为
，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。
解：由已知可化为
，这表明二次方程
有实根
，从而需要判别式
，即
成立。
6、构造思想
例6. 解不等式
分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。
但注意到
，且题中出现
，
启示我们构造函数去投石问路。
解：将原不等式化为
令
则不等式等价于
∵在R上为增函数
∴原不等式等价于
解得
7、整体思想
例7.已知
，且，求
的范围。
解：令
可得
∴
又
可解得
小结：题中
，且是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。
四 典型例题精选
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题型一 对公式的简单运用
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题型二：条件最值问题
【小结】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
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【小结】看好形式上的特点，分子分母同时除以自变量x，或通过其他变形出现基本不等式的可用情况，如积为定值的形式．需要注意的是等号成立的条件，如果不成立，则需转化为对勾函数的知识，运用求导并结合其图像解题．
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题型四 多变量综合
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题型五 利用基本不等式证明
【小结】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点．
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题型六 基本不等式应用题
【小结】此题主要考察学生对直角三角形边角关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题．
以实际问题为背景的解题步骤：
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
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总结
使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．基本不等式问题经常以函数为依托，重点考查基本不等式的应用，充分体现了数学学科知识间的内在联系，能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力．其解题的关键是对已知函数进行适当的变形，以满足基本不等式应用的条件．
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