贝塞尔函数Bessel（原理与实现）

程序实现：

// crt_bessel1.c
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main( void )
{
   double x = 2.387;
   int n = 3, c;

   printf( "Bessel functions for x = %f:\n", x );
   printf( " Kind   Order  Function     Result\n\n" );
   printf( " First  0      _j0( x )     %f\n", _j0( x ) );
   printf( " First  1      _j1( x )     %f\n", _j1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( " First  %d      _jn( %d, x )  %f\n", c, c, _jn( c, x ) );
   printf( " Second 0      _y0( x )     %f\n", _y0( x ) );
   printf( " Second 1      _y1( x )     %f\n", _y1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( " Second %d      _yn( %d, x )  %f\n", c, c, _yn( c, x ) );
}

输出结果：

Bessel functions for x = 2.387000: Kind Order Function Result First 0 _j0( x ) 0.009288 First 1 _j1( x ) 0.522941 First 2 _jn( 2, x ) 0.428870 First 3 _jn( 3, x ) 0.195734 First 4 _jn( 4, x ) 0.063131 Second 0 _y0( x ) 0.511681 Second 1 _y1( x ) 0.094374 Second 2 _yn( 2, x ) -0.432608 Second 3 _yn( 3, x ) -0.819314 Second 4 _yn( 4, x ) -1.626833

贝塞尔函数 在新的<cmath>/<math.h>头文件中已经包含

库函数：

第一类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_i( double nu, double x ) ;

第二类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_j( double nu, double x ) ;

第三类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_k( double nu, double x ) ;

柱诺依曼函数第二类柱贝塞尔函数：doublecyl_neumann( double nu, double x ) ;

第一类球贝塞尔函数：doublesph_bessel( unsigned n, double x ) ;

原理解释：

利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作Jn（x），用x的偶次幂的无穷和来定义，数 n称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作Yn（x）。当n为非整数时，Yn(x)可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当n为整数时，Yn(x)不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。