解析几何：第六章 二次曲面（2）抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面

§4    抛物面

1.椭圆抛物面

   （1）标准方程

   （2）基本元素

*顶点      O(0,0,0)

*主轴      Z轴

*主平面    OYZ平面：x=0；OZX平面：y=0

    （3）当a=b时，椭圆抛物线面是由OZX平面上的抛物线绕Z轴旋转得到的

    （4）平面与椭圆抛物面的交线

*平行于Z轴的平面与椭圆抛物面的交线是抛物线

*垂直于轴的平面z=k()与椭圆抛物线的交线是椭圆，特殊情况（k=0）为一点

2.双曲抛物面

   （1）标准方程

   （2）基本元素

*顶点      O(0,0,0)

*主轴      Z轴

*主平面    OYZ平面：x=0；OZX平面：y=0

   （3）直纹面母线方程

双曲抛物面是直纹面，且通过曲面上每一点均有两条直母线。

双曲抛物面的两族直母线方程为：

          与

§5 二次锥面与柱面

1.锥面的定义

设Γ为平面π上一条曲线，V为π外一点。当动点P沿着Γ运动时，直线VP(直线l） 的轨迹称为以V为顶点，Γ为底线，l为母线的锥面(如右图)。

锥面是直纹面。

2.椭圆锥面

（1）标准方程

（2）基本元素（如右图）

• 顶点  O(0,0,0)
• 主轴  Z轴
• 准线Γ  

（3）当a=b时为旋转曲面

     当a=b时,椭圆锥面为圆锥面，它是OZX平面上的直线绕Z轴旋转得到的。

（4）平面与椭圆锥面的交线

• 平行于OXY的平面：z=k与椭圆锥面的交线是椭圆：

特别，平面Z=0与曲线交于原点O

• 平行于OYZ或OZX的平面与椭圆锥面的交线是双曲线（k≠0）或一对交于O的直线（k=0）

（5）椭圆锥面是双叶双曲面和单叶双曲面的渐近锥面

椭圆锥面:

双叶双曲面:

单叶双曲面:  (a,b,c>0)

• 三个曲面与平面z=k的交线均为椭圆，当k→∞时，三个椭圆无限接近，即三个曲面无限接近。
• 通过Z轴的每个平面与双曲面的交线为一对共轭双曲线，与锥面的交线为两条直线，即是这对双曲线的渐近线。

3.柱面的定义

设Γ是一空间曲线，l是一条固定的直线。与Γ相交而且与l平行的直线集合所构成的曲面称为柱面。称Γ为柱面的准线，柱面上与l平行的直线称为母线。

显然，柱面S与可视为l沿Γ平行运动而生成的曲面。

柱面是直纹面。

4.椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面

名称	图形	方程	准线与母线	与平面交线
椭圆 柱面		当a=b时，为圆柱面： x2+y2=a2	准线： 母线方向数：（0，0，1）	与平行于OXY平面z=k的交线都是椭圆：
双曲 柱面			准线： 母线方向数：（0，0，1）	与平行于OXY平面z=k的交线都是双曲线：
抛物 柱面			准线： 母线方向数：（0，0，1）	与平行于OXY平面z=k的交线都是抛物线：

§6 一般二次曲面

1.一般二次曲面的方程

x,y,z的二次方程

所表示的二次曲面称为一般二次曲面。

2.二次曲面的一般性质

（1）直线与二次曲面的交点

 一直线与一个二次曲面交于两点（实的，虚的，重合的）；或者这直线全在曲面上，此时称它为二次曲面的直母线或母线。

（2）平面与二次曲面的交线

任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线。

（3）二次曲面的直径平面与中心

一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上，称为直径平面，它平分某一组平行弦，设已知方向的方向数为l，m，n，则直径平面的方程为

(al+hm+gn)x+(hl+bm+fn)y+(gl+fm+cn)z+(pl+qm+rn)=0

或改写为

（ax+hy+gz+p)l+(hx+by+fz+q)m+(gx+fy+cz+r)n=0

当l,m,n变动时，这个方程表示一个平面把，由此，二次曲面的直径平面组成一个平面把，平面把内任意平面都通过下列平面的交点：

ax+hy+gz+p=0

hx+by+fz+q=0

gz+fy+cz+r=0

如果交点不在曲面上，则称它为二次曲面的中心；如果交点在曲面上，则称它为二次曲面的顶点。凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面，其余的都称为无心二次曲面。

（4）二次曲面的主平面与主轴

如果直径平面垂直于被它所平分的弦，则称为主平面（对称平面），每个二次曲面至少有一个实主平面，非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的，它们的交线为主轴。

（5）二次曲面的圆截面

如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆，则称该平面为曲面的圆截面。

如果二次曲面不是球面，则通过空间中一点，二次曲面有六个圆截面；其中一般有两个实圆

截面，四个虚圆截面；而且六个圆截面中有几个是重合的。

3.二次曲面的切面与法线

二次曲面在一点M(x₀,y₀,z₀₎的切面方程为

ax₀x+by₀y+cz₀z+f(y₀z+z₀y)+g(z₀x+x₀z)+h(x₀y+y₀x)+p(x+x₀)+q(y+y₀)+r(z+z₀)+d=0

在点M与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M的法线，它的方程可写为

4.二次曲面的不变量

由二次曲面的一般方程

     (1)

的系数组成的下列四个函数：

称为二次曲面的不变量，即经过坐标变换后，这些量是不变的，行列式Δ称为二次方程（1）的

判别式。  

5.二次曲面标准方程及形状

不变量			坐标变换后的方程	曲线形状
D≠0 有心二次曲面	Δ>0		式中A,B,C,为特征方程 的三个特征根	A,B,C异号时为单叶双曲面。 A,B,C同号时无轨迹
	Δ<0			A,B,C同号时为椭球面 A,B,C异号时为双叶双曲面
	Δ=0			A,B,C同号时无轨迹 A,B,C异号时为二次锥面
D=0 无心二次曲面	Δ<0			椭圆抛物面 （A,B都是正的时，根号前取负号；A,B都是负的时，根号前取正号）
	Δ>0			双曲抛物面
	Δ=0	J≠0		A,B同号时为椭圆柱面或无轨迹，A,B异号时为双曲柱面  A,B异号时为一对相交平面，A,B同号时无轨迹
		J=0		抛物柱面 一对平行平面 无轨迹 一对重合平面

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