解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面

(68) 2024-04-17 09:01:01

§4    抛物面

1.椭圆抛物面解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第1张

   1)标准方程

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   2)基本元素

*顶点      O(0,0,0)

*主轴      Z

*主平面    OYZ平面:x=0OZX平面:y=0

    (3)当a=b时,椭圆抛物线面是由OZX平面上的抛物线解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第4张Z轴旋转得到的

    4)平面与椭圆抛物面的交线

*平行于Z轴的平面与椭圆抛物面的交线是抛物线

*垂直于轴的平面z=k(解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第5张)与椭圆抛物线的交线是椭圆,特殊情况(k=0)为一点

2.双曲抛物面

   1)标准方程

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   2)基本元素

*顶点      O(0,0,0)

*主轴      Z

*主平面    OYZ平面:x=0;OZX平面:y=0

   3)直纹面母线方程

双曲抛物面是直纹面,且通过曲面上每一点均有两条直母线。

双曲抛物面的两族直母线方程为:

解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第9张          解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第10张

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§5 二次锥面与柱面

1.锥面的定义解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第12张

Γ为平面π上一条曲线,Vπ外一点。当动点P沿着Γ运动时,直线VP(直线l 的轨迹称为以V为顶点,Γ为底线,l为母线的锥面(如右图)

锥面是直纹面。

2.椭圆锥面

(1)标准方程解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第13张

(2)基本元素(如右图)

  • 顶点  O(0,0,0)解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第14张
  • 主轴  Z
  • 准线Γ  解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第15张

(3)当a=b时为旋转曲面

     当a=b,椭圆锥面为圆锥面,它是OZX平面上的直线解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第16张Z轴旋转得到的。

(4)平面与椭圆锥面的交线

  • 平行于OXY的平面:z=k与椭圆锥面的交线是椭圆:

解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第17张解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第18张

特别,平面Z=0与曲线交于原点O

  • 平行于OYZOZX的平面与椭圆锥面的交线是双曲线(k0)或一对交于O的直线(k=0

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(5)椭圆锥面是双叶双曲面和单叶双曲面的渐近锥面解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第20张

椭圆锥面:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第13张

双叶双曲面:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第22张

单叶双曲面:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第23张  (a,b,c>0)

  • 三个曲面与平面z=k的交线均为椭圆,当k时,三个椭圆无限接近,即三个曲面无限接近。
  • 通过Z轴的每个平面与双曲面的交线为一对共轭双曲线,与锥面的交线为两条直线,即是这对双曲线的渐近线。解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第24张

3.柱面的定义

Γ是一空间曲线,l是一条固定的直线。与Γ相交而且与l平行的直线集合所构成的曲面称为柱面。称Γ为柱面的准线,柱面上与l平行的直线称为母线。

显然,柱面S与可视为l沿Γ平行运动而生成的曲面。

柱面是直纹面。

4.椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面

名称 图形 方程 准线与母线 与平面交线
椭圆

柱面

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a=b时,为圆柱面:

x2+y2=a2

准线:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第27张

母线方向数:(0,0,1)

与平行于OXY平面z=k的交线都是椭圆:

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双曲

柱面

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准线:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第31张

母线方向数:(0,0,1)

与平行于OXY平面z=k的交线都是双曲线:

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抛物

柱面

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准线:解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第35张

母线方向数:(0,0,1)

与平行于OXY平面z=k的交线都是抛物线:

解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第35张

 

§6 一般二次曲面

1.一般二次曲面的方程

x,y,z的二次方程

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所表示的二次曲面称为一般二次曲面。

2.二次曲面的一般性质

1)直线与二次曲面的交点

 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的);或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线。

2)平面与二次曲面的交线

任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线。

3)二次曲面的直径平面与中心

一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦,设已知方向的方向数为lmn,则直径平面的方程为

(al+hm+gn)x+(hl+bm+fn)y+(gl+fm+cn)z+(pl+qm+rn)=0

或改写为

ax+hy+gz+p)l+(hx+by+fz+q)m+(gx+fy+cz+r)n=0

l,m,n变动时,这个方程表示一个平面把,由此,二次曲面的直径平面组成一个平面把,平面把内任意平面都通过下列平面的交点:

ax+hy+gz+p=0

hx+by+fz+q=0

gz+fy+cz+r=0

如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心;如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点。凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面。

4)二次曲面的主平面与主轴

如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴。

5)二次曲面的圆截面

如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面。

如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆

截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的。

3.二次曲面的切面与法线

二次曲面在一点M(x0,y0,z0)的切面方程为

ax0x+by0y+cz0z+f(y0z+z0y)+g(z0x+x0z)+h(x0y+y0x)+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0

在点M与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M的法线,它的方程可写为

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4.二次曲面的不变量

由二次曲面的一般方程

解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第37张     (1)

的系数组成的下列四个函数:

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称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的,行列式Δ称为二次方程(1)的

判别式。  

5.二次曲面标准方程及形状

不变量 坐标变换后的方程 曲线形状

D≠0

有心次曲面

Δ>0

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式中A,B,C,为特征方程

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的三个特征根

A,B,C异号时为单叶双曲面。

A,B,C同号时无轨迹

Δ<0 A,B,C同号时为椭球面

A,B,C异号时为双叶双曲面

Δ=0 A,B,C同号时无轨迹

A,B,C异号时为二次锥面

D=0

无心二次曲面

Δ<0

 

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椭圆抛物面

A,B都是正的时,根号前取负号;A,B都是负的时,根号前取正号)

Δ>0 双曲抛物面

Δ=0

J≠0

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解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第46张A,B同号时为椭圆柱面或无轨迹,A,B异号时为双曲柱面

 解析几何:第六章 二次曲面(2)抛物面 二次锥面 柱面 一般二次曲面 (https://mushiming.com/)  第47张A,B异号时为一对相交平面,A,B同号时无轨迹

J=0  

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抛物柱面

一对平行平面

无轨迹

一对重合平面


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THE END

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