【凸优化】maximal 与 maximum的不同

这是一个很久之前的草稿，我在听国立清华大学赵启超教授的《离散数学L8B》，学到了Hasse diagram的概念，解释了greatest element 和maximal element之间区别。这让我想到了Boyd凸优化里面的maximum和maximal定义（当时还挺难理解的，因为它出现在广义不等式generalized inequality这一部分）。我凭印象把它整理出来，欢迎批评。

下面是三张Hasse diagram，分别写出了maximal, minimal, greatest element, least element。从中我们可以看出，maximal, minimal不唯一，而greatest, least最多只会有一个。
（注：下面图上的结点附近的数字只是个标记而已，并无实际含义）

greatest element从最上面的一个点往下走，能够走到所有点，那么这个点就是gratest element;

least element, 从最下面的一点往上走，能够走过所有点，则称这个点就是least element

greatest element 与maiximal element之所以会不同，是因为partial order 的定义本身暗示了不是任意两个元素都是可比的(comparable);
如果是total order，那么greatest element就是maximal element，least element就是minimal element，具体可以参考上面HASSE diagram a)；

Convex Optimization

这本书是介绍了minimum element 和 minmal的概念

左边，$x_1$是集合$S_1$的mimimum element。
而右边，$x_2$是集合$S_2$的mimimal element， 可以看到红色圆圈和$x_2$之间无法比较。

这是两种定义概念。
minimum element是比集合S 中所有元素都小（这暗含了它和集合中所有元素都是可以比较的）；
minimal element是**集合S中所有和它能够比较的* *元素中它是最小的（就像上图红色框的右上角与集合$S_2$的交集），或者说 所有比它更小的元素 都不在集合S中（就像上面右边那张图的淡灰色区域与集合$S_2$没有交集）。

摘自原书的定义